KIT - Klausuren - TM2

TM 2 Sammlung

TUHH-TM2

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

<p>\(<br />\sigma_{\xi}=25.98 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}\)</p><p>\(\tau_{\xi \eta}=-49.64 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}} <br />\)</p>

<p>\[<br />\sigma_{\xi}=\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \cos 2 \alpha+\tau_{x y} \sin 2 \alpha <br />\]</p>

<p>\[<br />\sigma_{\eta}=\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)-\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \cos 2 \alpha-\tau_{x y} \sin 2 \alpha <br />\]</p>

<p>\[<br />\tau_{\xi \eta}=-\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \sin 2 \alpha+\tau_{x y} \cos 2 \alpha <br />\]</p>

<p>Mit \(\sigma_{\mathrm{x}}=60 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}, \sigma_{\mathrm{y}}=-20 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}, \tau_{\mathrm{xy}}=30 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}\) und \(\cos 2 \alpha=\cos 120^{\circ}=-0.5\) \(\sin 2 \alpha=\cos 120^{\circ}=0.866\) folgt</p>

<p>\[<br />\sigma_{\xi}=25.98 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}\]</p>

<p>\[\tau_{\xi \eta}=-49.64 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}} <br />\]</p>

<p>Die Kontrolle am abgeschnittenen Teil mit \( s=\frac{a}{\tan \alpha} \) und \( l=\frac{a}{\sin \alpha} \) ergibt</p>

<p>Die Kontrolle am abgeschnittenen Teil mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" s=\frac{a}{\tan \alpha} " style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.676ex" height="2.395ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705.8 3834.7 1058.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-333-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-333-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-333-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-333-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-333-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 75 150 51T209 26Q247 26 276 49T315 109Q317 116 318 175Q318 233 317 233Q309 233 296 232T251 223T193 203T147 166T126 106Z"></path><path id="MJX-333-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-333-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-333-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-333-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(746.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1802.6,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(829.1,394) scale(0.707)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-333-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-74"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-61" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-6E" transform="translate(889,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1445,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1611.7,0)"><use data-c="1D6FC" xlink:href="#MJX-333-TEX-I-1D6FC"></use></g></g><rect width="1792.2" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" l=\frac{a}{\sin \alpha} " style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.942ex" height="2.395ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705.8 3510.3 1058.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-334-TEX-I-1D459" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path id="MJX-334-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-334-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-334-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-334-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-334-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-334-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-334-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D459" xlink:href="#MJX-334-TEX-I-1D459"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(575.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-334-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1631.6,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(752.3,394) scale(0.707)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-334-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-334-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-334-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-334-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-334-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1394.7,0)"><use data-c="1D6FC" xlink:href="#MJX-334-TEX-I-1D6FC"></use></g></g><rect width="1638.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt</p>

<p>\[<br />\nearrow: \sigma_{\xi} l \ t-\sigma_{x} s t \cos \alpha+\sigma_{y} a t \sin \alpha-\tau_{x y} s t \sin \alpha-\tau_{x y} a t \cos \alpha=0 \mid: t <br />\]</p>

<p>\[<br />\searrow: \tau_{\xi \eta} l \ t+\sigma_{x} s t \sin \alpha+\sigma_{y} a t \cos \alpha-\tau_{x y} s t \cos \alpha+\tau_{x y} a t \sin \alpha=0  \mid: t <br />\]</p>

<p>\[<br />\left(25.98 \frac{\mathrm{a}}{\sin \alpha}-60 \frac{\mathrm{a}}{\tan \alpha} \cos \alpha+20 \mathrm{a} \sin \alpha-30\left(\frac{\mathrm{a}}{\tan \alpha} \sin \alpha+\mathrm{a} \cos \alpha\right)\right) \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}<br />\]</p><p>\[<br />=(30-17.32+17.32-30) \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}=0 <br />\]</p>

<p>\[<br />(-57.32+30+10-8.66+25.98) \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}}=0 <br />\]</p>

<p>Damit bestätigt die Kontrolle die berechneten Werte!</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;"><div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;"><p>In einer rechteckigen Scheibe wird durch die skizzierte Belastung ein zweidimensionaler Spannungszustand erzeugt. Die Scheibe wird durch einen schrägen Schnitt \( \alpha \) halbiert</p><p> </p><p><strong>Gesucht:</strong></p><p>Bestimmung der auf die Schnittfläche wirkenden Spannungen \( \sigma_{\xi}, \ \tau_{\xi \eta} \) mit Hilfe der Transformationsformeln und Kontrolle des Ergebnisses durch die Gleichgewichtsbedingungen</p><p> </p><p><strong>Gegeben:</strong></p><p>\( \mathrm{a},\ \mathrm{c} \), Dicke \( \mathrm{t},\ \alpha=60^{\circ}\) <br />\(\sigma_{\mathrm{x}}=60 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}},\ \sigma_{\mathrm{y}}=-20 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}},\ \tau_{\mathrm{xy}}=30 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^{2}} \)</p></div><div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;"><p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/60921cb5624b31ced5c24b2c.png" alt="Rechteckige Scheibe mit Belastung; Schnittebene unter dem Winkel alpha" width="214" height="164" /></p></div></div><p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TM 2 Sammlung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: