8 / 64

Aufgabenstellung:

Ein stabförmiger Pyramidenstumpf mit quadratischem Grundriss steht wie skizziert auf einer ebenen Unterlage. Auf seiner oberen Querschnittsfläche wirkt eine Spannung . Das Eigengewicht kann vernachlässigt werden.

 

Gesucht:
Bestimmung der Spannung auf der unteren Querschnittsfläche und des Betrags , um den sich der Pyramidenstumpf verkürzt. Wie kann das System näherungsweise berechnet werden? Wann ist man auf der sicheren Seite?

 

Gegeben:

Stabförmiger Pyramidenstumpf mit quadratischem Grundriss

 

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Aus den Gleichgewichtsbedingungen erfolgt die Spannungsberechnung

Damit ergibt sich mit const. die Verkürzung aus

Die Berechnung der veränderlichen Querschnittsfläche erfolgt mit dem Strahlensatz

Daraus folgt mit die veränderliche Fläche:

Mit const., const.,   folgt:

Durch ein Substitution ergeben sich die neuen Grenzen des Integrals

Damit folgt

Näherungslösung

Wenn die kleinste Fläche als konstante Fläche des Stabes angenommenen wird, ergibt sich die geringste Dehnsteifigkeit. Damit wird die größtmögliche Verformung angegeben

Das Verhältnis ist das Mass für den Fehler. Das Näherungsergebnis ist zu groß.

Wird das Mittel der Flächen als konstante Fläche des Stabes angenommenen, ergibt sich eine mittlere Dehnsteifigkeit. Damit wird die größtmögliche Verformung angegeben

Das Verhältnis ist das Mass für den Fehler. Das Näherungsergebnis ist immer zu klein.

Überprüfung der Genauigkeit der Näherungslösungen; gegeben:

öä

Lösung: