Elastizitätsgesetz

Verzerrungen

Dünnwandige Druckbehälter

Zugstab

Ebener Spannungszustand

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

\begin{align} \quad \phi_{1}&amp;=30^{\circ}: \sigma_{\xi}=250 \mathrm{MPa}, \sigma_{\eta}=150 \mathrm{MPa}, \tau_{\xi \eta}=86,6 \mathrm{MPa} \\\\ \phi_{2}&amp;=60^{\circ}: \sigma_{\xi}=300 \mathrm{MPa}, \sigma_{\eta}=100 \mathrm{MPa}, \tau_{\xi \eta}=0 \mathrm{MPa} \end{align}

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\quad \phi_{1}&=30^{\circ}: \sigma_{\xi}=250 \mathrm{MPa}, \sigma_{\eta}=150 \mathrm{MPa}, \tau_{\xi \eta}=86,6 \mathrm{MPa} \\\\
\phi_{2}&=60^{\circ}: \sigma_{\xi}=300 \mathrm{MPa}, \sigma_{\eta}=100 \mathrm{MPa}, \tau_{\xi \eta}=0 \mathrm{MPa} 
\end{align}" style="vertical-align: -3.626ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="55.996ex" height="8.383ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2102.7 24750.2 3705.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3602-TEX-I-1D719" d="M409 688Q413 694 421 694H429H442Q448 688 448 686Q448 679 418 563Q411 535 404 504T392 458L388 442Q388 441 397 441T429 435T477 418Q521 397 550 357T579 260T548 151T471 65T374 11T279 -10H275L251 -105Q245 -128 238 -160Q230 -192 227 -198T215 -205H209Q189 -205 189 -198Q189 -193 211 -103L234 -11Q234 -10 226 -10Q221 -10 206 -8T161 6T107 36T62 89T43 171Q43 231 76 284T157 370T254 422T342 441Q347 441 348 445L378 567Q409 686 409 688ZM122 150Q122 116 134 91T167 53T203 35T237 27H244L337 404Q333 404 326 403T297 395T255 379T211 350T170 304Q152 276 137 237Q122 191 122 150ZM500 282Q500 320 484 347T444 385T405 400T381 404H378L332 217L284 29Q284 27 285 27Q293 27 317 33T357 47Q400 66 431 100T475 170T494 234T500 282Z"></path><path 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0)"><use xlink:href="#MJX-3602-TEX-I-1D702"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(17652.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3602-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(18708, 0)"><use xlink:href="#MJX-3602-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(19208, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3602-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3602-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3602-TEX-N-61"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Für die Komponenten des Spannungstensors im gedrehten Koordinatensystem gilt:

\begin{aligned} \sigma_{\xi} &amp;=\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \cos (2 \phi)+\tau_{x y} \sin (2 \phi) \\ \sigma_{\eta} &amp;=\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)-\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \cos (2 \phi)-\tau_{x y} \sin (2 \phi) \\ \tau_{\xi \eta} &amp;=-\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \sin (2 \phi)+\tau_{x y} \cos (2 \phi) \end{aligned}

Die Invarianten des Spannungstensors berechnen sich zu

\[ I_{1}=\sigma_{x}+\sigma_{y}=150 \mathrm{MPa}+250 \mathrm{MPa}=400 \mathrm{MPa} \]
\[ I_{2}=\sigma_{x} \sigma_{y}-\tau_{x y}^{2}=150 \cdot 250 \mathrm{MPa}^{2}-86,6^{2} \mathrm{MPa}^{2}=30000 \mathrm{MPa}^{2} \]

Mit \(\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)=200 \mathrm{MPa}\) und \(\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right)=-50 \mathrm{MPa}\) folgt jeweils für gegebenen Winkel:

Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)=200 \mathrm{MPa}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.988ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 9718.5 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3598-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3598-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 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\begin{aligned} \phi=30^{\circ} &amp; : \\ \sigma_{\xi}&amp;=200 \mathrm{MPa}-50 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(60^{\circ}\right)+86,6 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(60^{\circ}\right)=250 \mathrm{MPa} \\ \sigma_{\eta}&amp;=200 \mathrm{MPa}+50 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(60^{\circ}\right)-86,6 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(60^{\circ}\right)=150 \mathrm{MPa} \\ \tau_{\xi \eta}&amp;=50 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(60^{\circ}\right)+86,6 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(60^{\circ}\right)=86,6 \mathrm{MPa} \\ \\ I_{1}&amp;=\sigma_{\xi}+\sigma_{\eta}=250 \mathrm{MPa}+150 \mathrm{MPa}=400 \mathrm{MPa}\ \  \checkmark \\  I_{2}&amp;=\sigma_{\xi} \sigma_{\eta}-\tau_{\xi \eta}^{2}=250 \cdot 150 \mathrm{MPa}^{2}-86,6^{2} \mathrm{MPa}^{2}=30000 \mathrm{MPa}^{2} \ \ \checkmark \end{aligned}

\begin{align} \phi=60^{\circ} &amp; : \\  \sigma_{\xi}&amp;=200 \mathrm{MPa}-50 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(120^{\circ}\right)+86,6 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(120^{\circ}\right)=300 \mathrm{MPa} \\ \sigma_{\mathrm{n}}&amp;=200 \mathrm{MPa}+50 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(120^{\circ}\right)-86,6 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(120^{\circ}\right)=100 \mathrm{MPa} \\ \tau_{\xi_{\text {n }}}&amp;=50 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(120^{\circ}\right)+86,6 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(120^{\circ}\right)=0 \mathrm{MPa} \\ \\  I_{1}&amp;=\sigma_{\xi}+\sigma_{\eta}=300 \mathrm{MPa}+100 \mathrm{MPa}=400 \mathrm{MPa} \ \ \checkmark\\ I_{2}&amp;=\sigma_{\xi} \sigma_{\eta}-\tau_{\xi \eta}^{2}=300 \cdot 100 \mathrm{MPa}^{2}=30000 \mathrm{MPa}^{2} \ \ \checkmark \end{align}

Die Komponenten des Spannungstensors im \( x y \) -Koordinatensystem sind gegeben durch: 
\begin{align} \quad \sigma_{x}&amp;=150 \mathrm{MPa} \\\
\sigma_{y}&amp;=250 \mathrm{MPa} \\
\tau_{x y}&amp;=86,6 \mathrm{MPa} \end{align}
 
Berechnen Sie die Komponenten des Spannungstensors in Koordinatensystemen, die um die Winkel \( \phi_{1}=30^{\circ} \) bzw. \( \phi_{2}=60^{\circ} \) gegenüber dem \( x y \) -System gedreht sind. Überprüfen Sie die Ergebnisse anhand der Spannungsinvarianten.

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Ebener Spannungszustand mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Ebene Elastizitätstheorie - Ebener Spannungszustand | Aufgabe mit Lösu

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

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