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Aufgabenstellung:

Gegeben ist der verzweigte magnetische Kreis. Der Eisenkern ist in drei Abschnitte mit den mittleren Längen bis und den Querschnitten bis unterteilt. Die relative Permeabilitätskonstante ist überall gleich und konstant. Von zwei verlustfreien Spulen mit den Windungen und , die von den Strömen und durchflossen werden, wird in dem Eisenkern ein magnetisches Feld aufgebaut.

Abbildung

Bestimmen Sie:

a) das zu dem magnetischen Kreis äquivalente Ersatzschaltbild mit seinen magnetischen Widerständen bis und den beiden magnetischen Spannungsquellen und .
b) die magnetischen Flüsse in den drei Abschnitten des Eisenkerns.
c) die Eigeninduktivitäten und der beiden Spulen.
d) die Gegeninduktivität der Anordnung.

Lösungsweg:

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a) Ersatzschaltbild & Widerstand

Im ersten Schritt weisen wir den magnetischen Flüssen in den drei Abschnitten eine Zählrichtung zu. Die Richtung des magnetischen Flusses erhält man mit Hilfe der,"Rechten Hand Regel", in Abhängigkeit von der Stromrichtung und dem Wickelsinn der Spule. Umfasst man die Spule derart mit der rechten Hand, dass die Finger in die Zählrichtung des Stromes zeigen, so zeigt der Daumen in die Richtung des magnetischen Feldes.

Abbildung

Wendet man diese Regel auf den gegebenen magnetischen Kreis an, so ergibt es sich, dass bei beiden Spulen die magnetische Feldstärke nach oben zeigt. Zweckmäßigerweise wählt man für den magnetischen Fluss die gleiche Richtung. Bei handelt es sich aber nur um eine Zählrichtung, da der magnetische Fluss ein Skalar ist. Die Zählrichtung des Flusses im mittleren Schenkel ist frei wählbar. In der Abbildung wurde er nach unten eingezeichnet.

Unter der Voraussetzung, die bei magnetischen Kreisen mit einem Kern hoher Permeabilität praktisch gegeben ist, dass das Magnetfeld außerhalb des Eisens Null ist, lässt sich für einen solchen Kreis ein Ersatzschaltbild angeben, welches genauso wie ein Netzwerk mit Ohmschen Widerständen behandelt werden kann. Die elektrischen Größen werden lediglich durch magnetische Größen ersetzt.

Hinweis:

ößößäää

Hinweis:

Oft findet man für die magnetische Spannung auch . (wie in dieser Aufgabe)

Damit gelangt man zu dem folgenden Ersatzschaltbild.

Abbildung

Der magnetische Widerstand eines Eisenschenkels berechnet sich in gleicher Weise wie der elektrische Widerstand eines stabförmigen Leiters. Der Widerstand ist um so größer, je größer die Länge des Stabs ist und um so kleiner je größer der Querschnitt ist. Eine große relative Permeabilität des Materials erniedrigt den magnetischen Widerstand ebenso wie eine hohe spezifische Leitfähigkeit den elektrischen Widerstand erniedrigt. Daraus ergibt sich für die magnetischen Widerstände

Die magnetischen Spannungsquellen sind gleich den magnetischen Durchflutungen . Die Durchflutung ist proportional zur Windungszahl und dem die Windungen durchfließenden Strom.

b) Magnetisches Flüsse

Die magnetischen Flüsse können nun wie Ströme in einem normalen elektrischen Netzwerk berechnet werden. Dazu werden zwei Maschengleichungen und eine Knotengleichung aufgestellt.

Die drei Gleichungen (1) bis (3) lassen sich auch als Matrizengleichung darstellen. Die Darstellung in Matrizenform bringt zwar keinen Vorteil für den Lösungsweg, erhöht aber die Übersichtlichkeit.

Zur Bestimmung der magnetischen Flüsse, berechnen wir zuerst die Determinante des Gleichungssystems.

Die magnetischen Flüsse ergeben sich dann mit der Determinantenregel zu

c) Eigeninduktivität

Die Eigeninduktivität einer Spule ist definiert als das Verhältnis von dem magnetischen Fluss. der die von den Windungen der Spule aufgespannte Fläche durchsetzt, zu dem Strom, der die Spule durchfließt und den Fluss erzeugt. Da der von dem Eisenkern geführte Fluss jede einzelne Windung durchsetzt, muss dieser Fluss mal berücksichtigt werden, da jede Windung nur einen Teil zu der aufgespannten Fläche beiträgt. Es ist sehr wichtig zu beachten, dass nur der Anteil des magnetischen Flusses berücksichtigt wird, der von der stromdurchflossenen Spule selbst verursacht wird.

Den magnetischen Fluss erhält man, wenn der Strom abgeschaltet ist. Das heißt, in Gleichung (5) muss gleich Null gesetzt werden.

Ersetzt man in (6) durch die Beziehung (1), so erhält man

Die Induktivität wird in genau der gleichen Weise bestimmt, nur dass jetzt der Strom abgeschaltet werden muss.

Ersetzt man in durch die Beziehung (1), so erhält man

d) Gegeninduktivität

Die Gegeninduktivität zweier Spulen ist definiert als das Verhältnis von dem magnetischen Fluss, der die von den Windungen der Spule l aufgespannte Fläche durchsetzt, zu dem Strom, der die Spule 2 durchfließt und den Fluss erzeugt. Es ist sehr wichtig zu beachten, dass nur der Anteil des magnetischen Flusses berücksichtigt wird, der von der stromdurchflossenen Spule 2 verursacht wird. Vertauscht man die Rollen von Spule 1 und 2 , so ergibt sich für die Gegeninduktivität der gleiche Wert wie im ersten Fall.

Für und haben wir positive Werte erhalten, für dagegen ein negatives Ergebnis. Eigeninduktivitäten sind immer positiv. Gegeninduktivitäten dagegen können sowohl positiv als auch negativ sein. Wenn sich die von den beiden Spulen erzeugten magnetischen Flüsse gegenseitig schwächen, wie dies in dem vorliegenden Beispiel der Fall ist, ist der Wert der Gegeninduktivität negativ. Verstärken sich die beiden Flüsse, so ist die Gegeninduktivität positiv. Ob sich die Flüsse verstärken oder schwächen, ist abhängig von der Zählrichtung der durch die Spulen fließenden Ströme und dem Wickelsinn der beiden Spulen.

Lösung:

a)

Ersatzschaltbild siehe Lösungsweg

b)

c)

d)