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Aufgabenstellung:

Ein Elektron mit der Masse und der Ladung wird im Feld eines idealen Plattenkondensators beschleunigt. Das Elektron tritt senkrecht aus der linken negativ geladenen Kondensatorplatte aus. Die Anfangsgeschwindigkeit ist dabei Null. An dem Kondensator liegt die Spannung an. Wenn das Elektron den Kondensator durch eine sehr kleine Öffnung in der rechten Platte verlässt, bewegt es sich geradlinig weiter und dringt in ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld ein. In -Richtung besitzt der felderfüllte Raum die Länge . In -Richtung ist das Feld nicht begrenzt. Das Feld der magnetischen Flussdichte besitzt nur eine -Komponente.

Abbildung

a) Mit welcher Geschwindigkeit verlässt das Elektron das Magnetfeld?
b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Elektron das Magnetfeld auf der rechten Seite verlässt?
c) Unter welchem Winkel verlässt das Elektron das Magnetfeld?
d) Wie lange benötigt das Elektron von der linken Kondensatorplatte bis zum Austritt aus dem Magnetfeld?

Hinweis:
Feldstreuungen sind als vernachlässigbar anzusehen. Außerdem wird angenommen, dass die auftretenden Geschwindigkeiten so gering sind, dass keine relativistischen Effekte berücksichtigt werden müssen.

Lösungsweg:

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a) Geschwindigkeit

Für die beim Bewegen einer Ladung zugeführte Energie gilt

Die auf das Teilchen wirkende Kraft im Magnetfeld ist gleich

Setzt man Gleichung (1) in Gleichung (2) ein, so steht unter dem Integral ein Spatprodukt.

Die Faktoren eines Spatproduktes dürfen zyklisch vertauscht werden, ohne dass sich das Vorzeichen ändert.

Da und die zeitliche Ableitung von in die gleiche Richtung weisen, ergibt das Kreuzprodukt und damit die Energiezufuhr in Gleichung (3) bzw. (4) stets Null. Wenn im Magnetfeld dem Elektron keine Energie zugeführt wird, ist offensichtlich der Betrag seiner Geschwindigkeit beim Eintreten in das Magnetfeld genauso groß wie beim Verlassen.

Daraus folgt:

  In einem statischen Magnetfeld kann einem bewegten geladenen Teichen keine Energie zugeführt werden.

Anstatt die Geschwindigkeit des Elektrons beim Verlassen des Plattenkondensators direkt zu berechnen, ist es bequemer, zuerst den Energiezuwachs und erst dann die Geschwindigkeit zu bestimmen. Die Kraft, die auf das Elektron im Kondensator ausgeübt wird, ist gleich

Setzt man die Kraft in Gleichung (1) ein, erhält man

Nach dem Durchlaufen des elektrischen Feldes, hat sich die kinetische Energie des Elektrons um erhöht.

Damit gilt

Um die gesuchte Geschwindigkeit zu erhalten, muss (5) nur noch umgestellt werden.

b) Bedingung ?

Die auf das Elektron im Magnetfeld wirkenden Kräfte wirken stets senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor und der Feldstärke. Dies führt dazu, dass das Teilchen eine Kreisbahn beschreibt.

Abbildung

Wenn der Radius der Kreisbahn kleiner ist als die Breite des Magnetfelds, wie dies in Abbildung fün der Fall ist, kann das Elektron nicht auf der rechten Seite austreten, sondern kehrt seine Richtung um. Das Elektron tritt dann im Abstand unterhalb der Eintrittsstelle wieder senkrecht aus dem Magnetfeld aus. Ist der Bahnradius dagegen größer als die Breite des felderfüllten Raumes, tritt das Elektron auf der rechten Seite des Feldes unter dem Winkel aus und bewegt sich geradlinig weiter.
Auf das Elektron wirkt zum einen die durch das Magnetfeld bewirkte Zentripetalkraft und zum anderen eine Zentrifugalkraft . Aus der Gleichgewichtsbedingung der beiden Kräfte erhält man

und damit den Bahnradius

Damit das Elektron auf der rechten Seite des Magnetfeldes austritt, muss daher unter Berücksichtigung von Gleichung gelten

Zentrifugalkraft :

Zentripetal- und Zentrifugalkraft hängen eng miteinander zusammen. Dabei ist die Zentrifugalkraft eine Scheinkraft, die ein mitbewegter Beobachter wahrnimmt, der der Zentripetalkraft ausgesetzt ist. Scheinkraft bedeutet in der Physik, dass sie nur in beschleunigten Bezugssystemen auftritt, und keinen materiellen Ursprung hat. Das heißt, ein außenstehender ruhender Beobachter wird keine Zentrifugalkraft messen. Das lässt sich an einfachen Beispielen verdeutlichen: Fährt man im Auto schnell eine Kurve, so spüren die Insassen eine radial (senkrecht zur Fahrtrichtung) nach außen gerichtete Kraft auf sich wirken. Betrachtet man aber als Außenstehender einen nassen sich drehenden Fahrradreifen, so sieht man die Wassertropfen tangential (und nicht etwa radial) vom Reifen wegfliegen. Eine radial vom Mittelpunkt wegführende Kraft ist also nicht vorhanden, sondern tritt nur für mitbewegte Beobachter in Erscheinung (Quelle: Wikipedia).

c) Winkel

Aus der Abbildung (Siehe Aufgabenteil b) kann man direkt den Zusammenhang zwischen dem Bahnradius , der Magnetfeldbreite und dem Austrittswinkel ablesen.

d) Zeit bis zum Austritt

Die Gesamtflugzeit des Elektrons setzt sich aus drei Teilzeiten zusammen.

(1) ist die Zeit, die das Elektron benötigt, um den Plattenkondensator zu passieren. Das Elektron wird von der Anfangsgeschwindigkeit auf die Endgeschwindigkeit beschleunigt.

(2) ist die Zeit, die das Elektron von der rechten Kondensatorplatte bis zum Eindringen in das Magnetfeld benötigt. In dieser Phase wirken keine Kräfte auf das Teilchen. Es bewegt sich geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit .

(3) ist die Zeitdauer, die das Elektron innerhalb des Magnetfeldes verbringt. Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn mit der konstanten Geschwindigkeit

zu (1):

Die Berechnung der Zeit beginnt mit dem Zusammenhang

Neben Gleichung (7) gilt für das elektrische Feld eines Plattenkondensators die Beziehung

und für die Wegstrecke im Kondensator bei konstanter Beschleunigung

Unter Ausnutzung der Gleichung setzt man die Gleichungen und in Gleichung ein und erhält

Umstellen nach ergibt

Zum Zeitpunkt hat das Elektron die rechte Kondensatorplatte erreicht und die Wegstrecke zurückgelegt. Mit Gleichung folgt damit für die Zeit :

zu (2):

Die Endgeschwindigkeit des Elektrons beim Austritt aus dem Kondensator erhält man aus Gleichung (6). Mit ihr lässt sich die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit errechnen.

zu (3):

Die Länge des von dem Elektron im Magnetfeld zurückgelegten Bogens im Magnetfeld ist gleich dabei ist der Winkel im Bogenmaß). Den Radius entnimmt man aus Gleichung

Addiert man alle drei Zeiten, so erhält man die gesamte Flugzeit des Elektrons.

Lösung:

a)

b)

c)

d)