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Aufgabenstellung:

Zwei Spulen sind auf einen gemeinsamen Eisenkern mit den unten angegebenen Abmessungen bis und der Dicke gewickelt. Wicklung 1 hat die Windungszahl und wird von der Stromstärke durchflossen; entsprechend besitzt Wicklung 2 die Windungszahl und wird von der Stromstärke in der eingezeichneten Richtung durchflossen.


Abbildung

a) Berechnen Sie allgemein die vier gestrichelt eingezeichneten mittleren Feldlinienlängen

b) Zeichnen Sie das magnetische Ersatzschaltbild der Anordnung und geben Sie allgemein jeweils die Größen und mit an.

c) Die magnetische Flussdichte im linken Kernabschnitt soll betragen. Bestimmen Sie den magnetischen Fluss im Eisenkern in allgemeiner Form und berechnen Sie diesen mit den angegebenen Werten.

d) Bestimmen Sie die magnetischen Feldstärken und Flussdichten in den vier Abschnitten wenn beträgt.

Lösungsweg:

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Ansatz

- Aufstellen des magnetischen Ersatzschaltbildes
- Bestimmung der mittleren Feldlinienlängen
- Bestimmung des magn. Flusses
- Bestimmung der magn. Flussdichte

b) Magnetisches Ersatzschaltbild

Abbildung

Für die angegebene Anordnung ergibt sich das Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises im Bild.

Für den magnetischen Widerstand gilt

und für die magnetische Spannung

Die Größen des Ersatzschaltbildes bestimmen sich wie folgt:

a) Bestimmung der mittleren Feldlinienlängen

aus Symmetriegründen

c) Bestimmung des magn. Flusses

Allgemein gilt für den magnetischen Fluss

Um dieses Integral lösen zu können, muss die Querschnittsfäche A des Eisenkerns bestimmt werden. Dazu muss nun das Flächenelement bestimmt werden. Bereits gegeben ist:

In x-Richtung (hier ist das die horizontale Richtung) muss beispielsweise integriert werden von

und in -Richtung von

Für die rechte Seite gilt entsprechendes, oben und unten sind die Breiten für die Integration zu wählen. Nach Voraussetzung ist die magnetische Flussdichte im Eisenkern im betrachteten Abschnitt 1 konstant.

d) Berechnung der magn. Flussdichten und Feldstärken

Es gilt hier wieder das Durchflutungsgesetz Da der Feldstärkeverktor und der Linienelement in dieselbe Richtung zeigen:

Unter der Annahme, das überall konstant ist, lautet die Lösung des Integrals

Wendet man dieses auf den Eisenkern an, ergeben sich vier Teilabschnitte, und damit vier Feldstärken und die zugeordneten mittleren Feldlinienlängen mit . Damit kann das Durchflutungsgesetz geschrieben werden als

Hierzu vergleiche man die Gleichung aus dem magnetischen Ersatzschaldbild:

Unter der Ausnutzung der Symmetrien des Eisenkerns ist und damit auch

muss gelten, da ist und . Dadurch und mit vereinfacht sich

Mit den gegebenen Werten ergibt sich Da nur noch bestimmt werden muss, kann man umstellen:

Die gesuchte Flussdichte kann durch die folgend Beziehung bestimmt werden:

Lösung:

siehe Lösungsweg