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Aufgabenstellung:

Gegeben ist eine lange Doppelleitung mit und einem Leiterabstand . Der Leiterradius soll gegen den Leiterabstand vernachlässigt werden.

a) Für einen Strom skizzieren Sie die magnetische Feldstärke und die magnetische Induktion in der -Ebene.

b) Leiten Sie allgemein den Betrag der Feldstärke für die einzelnen Leiter in jedem Punkt der -Ebene her.

c) Überlagern Sie die einzelnen Feldstärken für den Sonderfall (entlang der -Achse).

d) Warum kann man die Gesamtfeldstärke aus den Beträgen der Einzelfeldstärken für die Leiter nur in bestimmten Sonderfällen einfach bestimmen?

e) Zeichnen Sie den Betrag der Feldstärke auf der -Achse für einen Strom von und einen Leiterabstand von

f) Im Fall eines Kurzschlusses ergebe sich ein Kurzschlussstrom . Berechnen Sie die Kraft die die Leiter bei einer Leiterlänge von aufeinander ausüben.

Abbildung

Lösungsweg:

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Erklärung des Problems

- Kraftwirkung: LORENTZkraft
- Jeder Leiter hat ein eigenes Feld
- Überlagerung der Felder
- Kraftwirkung auf die Leiter

Vorgehen in der Lösung:

1. (Allgemeine) Bestimmung des Feldes eines Leiters
2. Koordinatenverschiebung
3. Überlagerung der einzelnen Felder
4. Zeichnen des Feldes entlang der -Achse (Erläuterung: Messgerät in der Hand und laufen auf der Achse...)
5. Berechnen der Kraft auf einen Leiter
6. Ausnutzen der Symmetrie
7. Überlagerung der Kräfte

Aufgabenteil a)

Zunächst die Skizze für einen einfachen Leiter:

Abbildung

Die Überlagerung der beiden Felder ergibt:

Abbildung

Die Felder werden zwischen den beiden Leitern geschwächt, da hier die Feldlinien "entgegengesetzt " verlaufen.

Aufgabenteil b)

Die magnetische Feldstärke außerhalb des Leiters wird nach dem Durchflutungssatz berechnet. Es gilt:

wobei den Abstand vom Leiter darstellt. Die magnetische Flussdichte ist über mit der Feldstärke verknüpft. In diesem Fall muss der Abstand vom Ursprung in kartesischen Koordinaten umgerechnet werden. Hierbei ergibt sich:

Für einen Leiter, der im Ursprung sitzt ergibt sich daher folgende Gleichung für den Betrag der Feldstärke:

Beide Leiter liegen jedoch prinzipiell irgendwo im Koordinatensystem. Wir drücken also beide Gleichungen mit Indizes aus, damit sie später einfach überlagert werden können. Dabei braucht man nur die Variablen zu indizieren, die bei beiden unterschiedlich sind:

Nun müssen ein Bezugspunkt sowie eine Richtung der Achsen für das Koordinatensystem gewählt werden.

Ergänzung: Richtung der Achsen

Hierbei ist es prinzipiell egal, wo der Ursprung liegt bzw. in welche Richtung die Achsen zeigen. Hier kann z. B. zur Verdeutlichung ruhig auch einmal eine vollkommen unsinnige Koordinatensystem-Wahl gezeigt werden, wie im Bild zu sehen ist. Auf die Probleme mit solchen Festlegungen für das Koordinatensystem kurz eingehen. Folgende Punkte können erwähnt werden:

  • Berechnung der einzelnen Transformationsvorschriften schwierig, dadurch schleichen sich Fehler ein
  • fehlende Symmetrie vermindert die Fehlerauffälligkeit
  • manchmal fallen durch geschickte Symmetrierung Terme weg, die die Rechnung erleichtern. Das ist hier sehr oft nicht der Fall.

Abbildung

Damit dürfte die Wahl der Richtung klar sein.

Für den Urspung bieten sich sinnvollerweise drei Möglichkeiten an, die gleichwertig sind:

1. Ursprung im linken Leiter: Dabei braucht nur die Gleichung für die Feldstärke des rechten Leiters angepasst zu werden,
2. Ursprung im rechten Leiter: Dabei braucht nur die Gleichung für die Feldstärke des linken Leiters angepasst zu werden und
3. Ursprung in der Mitte zwischen beiden Leitern. Hierbei müssen zwar beide Gleichungen angepasst werden, die Gleichung sieht aber symmetrisch aus.

Man kann natürlich auch den Ursprung in -Richtung verschieben. Dieses hätte aber erhöhten rechnerischen Aufwand zur Folge. Wir wählen hier die dritte Möglichkeit aus: Ursprung in der Mitte zwischen den Leitern.

Abbildung

Da nun beide Leiter bei liegen, ist in allen Gleichungen

Nun ist noch jeweils das anzupassen. Hier gilt für die beiden Leiter

Wir erhalten daher:

und

Aufgabenteil

Nun erfolgt die Überlagerung der beiden Felder für den Spezialfall Man erhält zunächst:

Durch lässt sich die Gleichung deutlich vereinfachen zu:

Die magnetische Flussdichte ergibt sich über den einfachen Zusammenhang

Dementsprechend gibt es andere Werte, also eine andere Skalierung der Ordinate.

Aufgabenteil d)

Die einfache Überlagerung der Beträge der Feldstärken funktioniert nur dann einfach, wenn die Vektoren gleich- oder genau entgegengesetzt gerichtet sind. Dieses ist in diesem Fall nur entlang der -Achse der Fall. in allen anderen Fällen muss die Richtung des Feldes berücksichtigt werden, was die Betrachtung der Richtungsvektoren erfordert.

Aufgabenteil )

Die Zeichnung für die Magnetische Feldstärke entlang der x-Achse sieht wie folgt aus

Abbildung

Aufgabenteil

Die Kraftwirkung auf die Leiter wird durch die Lorentzkraft verursacht.

Magnetsiche Flussdichte im jeweils anderen Leiter:

Abbildung

Die Abbildung zeigt die parallel zur -Achse verlaufenden magnetsichen Flussichten sowie die resultierenden Kräfte. Die Kräfte jedes einzelnen Leiters werden nun berechnet. Als Gleichung dafür wird das Wegintegral
genutzt. Das Integral folgt aus der Überlegung, dass sich die Kraft aus einzelnen Kraftkomponenten zusammensetzt. Jede dieser Komponenten muss nun über das Kreuzprodukt berechnet und integriert werden.

Wir berechnen die Kraft zunächst für den linken Leiter:

Für den rechten Leiter ergibt sich quasi dasselbe:

Beide Resultate unterscheiden sich lediglich im Vorzeichen. Daher kann man zunächst den Betrag der Kraft berechnen. Dieser ist gegeben durch:

Die Kraft in -Richtung beträgt also ungefähr für den linken Leiter und für den rechten. Vielleicht können sich die Studenten das besser vorstellen, wenn man dies mit der Gewichtskraft von ungefähr vergleicht.

Lösung:

siehe Lösungsweg