KRAFT

Flächenpressung

Schub

Zug und Druck

Torsion

Biegung

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Vorlesung Technische Mechanik

<p>Das Biegemoment wird durch zweifache Integration der Streckenlast ermittelt:</p>

<p>Integrationskonstanten über Randbedingungen ermitteln:</p>

<p>\begin{align}<br />M_{y}(0)=0 \quad &amp;\Rightarrow c_{2}=0 \\</p><p>M_{y}(L)=0 \quad &amp;\Rightarrow c_{1}=\frac{1}{6} q_{0} L<br />\end{align}</p>

<p>Damit gilt für $Q_{z}(x)$ und $M_{y}(x)$ mit eingesetzten Randbedingungen:</p>

<p>Damit gilt für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="Q_{z}(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.776ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2552.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-606-TEX-I-1D444" d="M399 -80Q399 -47 400 -30T402 -11V-7L387 -11Q341 -22 303 -22Q208 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435Q740 255 592 107Q529 47 461 16L444 8V3Q444 2 449 -24T470 -66T516 -82Q551 -82 583 -60T625 -3Q631 11 638 11Q647 11 649 2Q649 -6 639 -34T611 -100T557 -165T481 -194Q399 -194 399 -87V-80ZM636 468Q636 523 621 564T580 625T530 655T477 665Q429 665 379 640Q277 591 215 464T153 216Q153 110 207 59Q231 38 236 38V46Q236 86 269 120T347 155Q372 155 390 144T417 114T429 82T435 55L448 64Q512 108 557 185T619 334T636 468ZM314 18Q362 18 404 39L403 49Q399 104 366 115Q354 117 347 117Q344 117 341 117T337 118Q317 118 296 98T274 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725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-607-TEX-I-1D440"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1003,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-607-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1399.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-607-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1788.5,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-607-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2360.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-607-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit eingesetzten Randbedingungen:</p>

<p>\[<br />Q_{z}(x)=\frac{1}{6} q_{0} L\left(1-3 \frac{x^{2}}{L^{2}}\right), M_{y}(x)=\frac{1}{6} q_{0} L^{2} \frac{x}{L}\left(1-\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)<br />\]</p>

<p>Das größte Biegemoment tritt an der Stelle auf, an der die Querkraft null ist:</p>

<p>\begin{align}<br />Q_{z}\left(x_{0}\right)=0: \quad  1-3 \frac{x_{0}^{2}}{L^{2}}&amp;=0 \\</p><p>\Rightarrow \frac{x_{0}}{L}&amp;=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align}</p>

<p>\begin{align}</p><p>M_{y \ m a x}&amp;=M_{y}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{6} q_{0} L^{2} \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{3}\right) \\</p><p>&amp;=\frac{\sqrt{3}}{27} q_{0} L^{2}<br />\end{align}</p>

<p>Zahlenwerte für $M_{y \ m a x}$ einsetzen :</p>

<p>Zahlenwerte für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="M_{y \ m a x}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.732ex" height="2.213ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2975.6 978" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-611-TEX-I-1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 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344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-611-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-611-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-611-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-611-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-611-TEX-I-1D440"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1003,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-611-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(490,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-611-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(740,0)"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-611-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1618,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-611-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2147,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-611-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> einsetzen :</p>

<p>\[<br />M_{y \ m a x}=\frac{\sqrt{3}}{27} \cdot 100 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}} \cdot 2000^{2} \mathrm{~mm}^{2}=2566 \cdot 10^{4} \mathrm{Nmm}<br />\]</p>

<p>Die größte Biegespannung berechnet sich zu (mit Zahlenwerten eingesetzt):</p>

<p>\[<br />\sigma_{\max }=\frac{M_{y \ m a x}}{W_{y}}=\frac{2566 \cdot 10^{4} \mathrm{Nmm}}{214 \cdot 10^{3} \mathrm{~mm}^{3}}=119,9 \mathrm{MPa}<br />\]</p>

<p>\[<br />S_{F}=\frac{n_{0,2} R_{e}}{\sigma_{\max }}=\frac{1,1 \cdot 400 \mathrm{MPa}}{119,9 \mathrm{MPa}}=3,67<br />\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;"><div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;"><p>Der abgebildete Träger I 200 DIN 1025 ist in den Punkten $ A $ und $ B $ gelenkig gelagert. Er wird durch eine linear veränderliche Streckenlast belastet.<br /><br />Gesucht ist die Sicherheit $ S_{F} $ gegen Fließen.</p><p> </p><p><strong>Gegeben:</strong></p><p>$L=2 \mathrm{~m}, \ q_{0}=100 \  \mathrm{kN} / \mathrm{m}$</p><p>$W_{y}=214 \mathrm{~cm}^{3}, R_{e}=400 \ \mathrm{MPa},\  n_{0,2}=1,1$</p></div><div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;"><p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602f55932fe7b3a4e586c337.png" alt="Abbildung" /></p></div></div><p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Biegung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: