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Aufgabenstellung:

AbbildungDie Schwerkraft mit der die Erde (Masse auf einen Massenpunkt der Masse ausübt, ist eine konservative Kraft, die zum Erdmittelpunkt hin zeigt. Sie hat den Betrag

  1. Begründen Sie, dass die Schwerkraft keine Arbeit verrichtet, wenn der Massenpunkt entlang eines Kreises um den Erdmittelpunkt verschoben wird.
  2. Der Bezugspunkt für das Potenzial der Schwerkraft wird auf die als Kugel mit dem Radius angenommene Erdoberfläche gelegt. Begründen Sie, dass der Wert des Potenzials unabhängig davon ist, wo auf der Erdoberfläche der Bezugspunkt liegt.
  3. Zeigen Sie, dass das Potenzial durch die Funktion gegeben ist, wenn ein Bezugspunkt auf der Erdoberfläche gewählt wird.

Lösungsweg:

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a) Arbeit entlang eines Kreisbogens um den Erdmittelpunkt

In jedem Punkt der Kreisbahn von nach steht die Schwerkraft senkrecht auf dem Wegelement :

Abbildung

Daher gilt und damit auch

b) Erdoberfläche als Nullniveau

AbbildungSeien und zwei verschiedene Bezugspunkte, die beide auf der Oberfläche der Erdkugel liegen. Die beiden Punkte sind durch einen Kreisbogen mit Radius um den Erdmittelpunkt verbunden. Sei der Wert des Potenzials am Punkt , wenn Punkt als Bezugspunkt gewählt wird, und der Wert des Potentials, wenn als Bezugspunkt gewählt wird.

Für das Potenzial gilt laut Definition:

Entsprechend gilt für das Potential :

Da bei einer konservativen Kraft das Arbeitsintegral unabhängig vom Weg ist, gilt aber auch:

Da der Weg ein Kreisbogen um den Erdmittelpunkt ist, ist das Arbeitsintegral entlang dieses Weges nach Teilaufgabe a) null. Damit ist gezeigt:

c) Berechnung des Potenzials

Der Wert des Potenzials am Punkte kann über die Arbeit entlang eines beliebigen Weges vom Bezugspunkt zum Punkt berechnet werden.

Der gewählte Weg besteht aus zwei Teilstücken (Skizze):

Abbildung

1.Teilstück:  Der Weg führt geradlinig vom Punkt zum Punkt in dem die Gerade durch den Erdmittelpunkt und den Punkt die Erdkugel schneidet.

Für die Schwerkraft an der Stelle gilt:

Die verrichtete Arbeit berechnet sich zu

2. Teilstück: Der Weg führt vom Punkt zum Bezugspunkt .

Die Arbeit entlang dieses Weges ist null.

Damit gilt für das Potenzial:

Lösung:

Siehe Lösungsweg.