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Aufgabenstellung:

AbbildungDer starre Körper ist im Punkt reibungsfrei gelenkig gelagert. Im Punkt ist ein linearer Dämpfer mit der Dämpferkonstanten und im Punkt eine lineare Feder mit der Federkonstanten angeschlossen. Der Körper hat das Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt

Der Winkel darf als klein angenommen werden.

  1. Stellen Sie die Schwingungsgleichung auf und ermitteln Sie daraus die Periode der ungedämpften Schwingung und die Abklingkonstante in Abhängigkeit von und .
  2. Im Punkt wird die Vertikalbeschleunigung gemessen. Dabei zeigt sich, dass das Verhältnis von zwei aufeinander folgenden Maxima den Wert hat und der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Maxima beträgt. Bestimmen Sie daraus die Werte der Abklingkonstanten der Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung und des Lehrschen Dämpfungsmaßes .
  3. Bestimmen Sie die Werte des Massenträgheitsmoments und der Dämpferkonstanten für die unten angegebenen Zahlenwerte von und .

Gegeben:

Zahlenwerte für c):

Lösungsweg:

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a) Schwingungsgleichung

Drallsatz bezüglich A:

Abbildung

Federkraft:

Dämpferkraft:

Einsetzen in den Drallsatz ergibt:

Daraus folgt die Schwingungsgleichung:

Aus der Schwingungsgleichung kann abgelesen werden:

Mit folgt:

b) Abklingkonstante, Kreisfrequenz und Lehrsches Dämpfungsmaß

Aus folgt:

Mit und gilt:

Aus folgt:

Zahlenwert:

Daraus folgt für das Lehrsche Dämpfungsmaß:

c) Massenträgheitsmoment und Dämpferkonstante

Aus folgt:

Mit den Ergebnissen aus ) und den gegebenen Zahlenwerten folgt:

Aus folgt:

Zahlenwert:

Lösung: