Eindimensionale Bewegung

Räumliche Bewegung

Kreisbewegung

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[v_{x}=-x_{0} \omega \sin (\omega t), \quad v_{y}=y_{0} \omega \cos (\omega t)\] \[v=\omega \sqrt{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}\]</li>
<li>\[a_{x}=-x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t), \quad  a_{y}=-y_{0} \omega^{2} \sin (\omega t)\] \[ a_{t}=\frac{\omega^{2}\left(x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\right) \sin (2 \omega t)}{2 \sqrt{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}}\]</li>
<li>\[a_{n x}=-x_{0} \omega^{2} \frac{y_{0}^{2} \cos (\omega t)}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}<br />\] \[<br />a_{n y}=-y_{0} \omega^{2} \frac{x_{0}^{2} \sin (\omega t)}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}<br />\]</li>
</ol>

<p>a) Geschwindigkeitsvektor und Bahngeschwindigkeit</p>


<p>\[v_{x}(t)=\dot{x}(t)=-x_{0} \omega \sin (\omega t)\]</p>
<p>\[v_{y}(t)=\dot{y}(t)=y_{0} \omega \cos (\omega t)\]</p>


<p>\[<br />v(t)=\sqrt{v_{x}^{2}(t)+v_{y}^{2}(t)}=\omega \sqrt{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}<br />\]</p>


<p>b) Beschleunigungsvektor und Bahnbeschleunigung</p>


<p>\[<br />a_{x}(t)=\ddot{x}(t)=-x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \]</p>
<p>\[a_{y}(t)=\ddot{y}(t)=-y_{0} \omega^{2} \sin (\omega t)<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />a_{t}(t)=\frac{d v}{d t}(t) &amp;=\frac{2 \omega^{2}\left(x_{0}^{2} \sin (\omega t) \cos (\omega t)-y_{0}^{2} \cos (\omega t) \sin (\omega t)\right)}{2 \sqrt{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos (\omega t)}} \\\\<br />&amp;=\frac{\omega^{2}\left(x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\right) \sin (2 \omega t)}{2 \sqrt{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>c) Vektor der Normalbeschleunigung</p>


<p>\begin{aligned}<br />\boldsymbol{a}(t)=&amp; \boldsymbol{a}_{n}(t)+\boldsymbol{a}_{t}(t) \quad  \Rightarrow \boldsymbol{a}_{n}(t)=\boldsymbol{a}(t)-\boldsymbol{a}_{t}(t)=\boldsymbol{a}(t)-\frac{a_{t}(t)}{v(t)} \boldsymbol{v}(t)\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}\frac{a_{t}(t)}{v(t)} &amp;=\frac{\omega\left(x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\right) \sin (2 \omega t)}{2\left(x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)\right)}\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}<br />a_{n x}(t) &amp;=-x_{0} \omega^{2}\left(\cos (\omega t)-\frac{1}{2} \sin (\omega t) \sin (2 \omega t) \frac{x_{0}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}\right) \\\\<br />&amp;=-x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t)\left(1-\frac{\left(x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\right) \sin ^{2}(\omega t)}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}\right) \\\\<br />&amp;=-x_{0} \omega^{2} \frac{y_{0}^{2} \cos (\omega t)}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}<br />\end{aligned}</p>


<p>\[\begin{aligned}<br />a_{n y}(t) &amp;=-y_{0} \omega^{2}\left(\sin (\omega t)+\frac{1}{2} \cos (\omega t) \sin (2 \omega t) \frac{x_{0}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}\right) \\\\<br />&amp;=-y_{0} \omega^{2} \sin (\omega t)\left(1+\frac{\left(x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\right) \cos ^{2}(\omega t)}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}\right) \\\\<br />&amp;=-y_{0} \omega^{2} \frac{x_{0}^{2} \sin (\omega t)}{x_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega t)+y_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega t)}<br />\end{aligned}\]</p>

<p>Die Bahn eines Punktes ist gegeben durch</p>
<p>\[<br />\quad x(t)=x_{0} \cos (\omega t), \quad y(t)=y_{0} \sin (\omega t)<br />\]</p>
<p>Dabei sind \( x_{0}, y_{0} \) und \( \omega \) Konstanten.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Ermitteln Sie die Komponenten \( v_{x}(t) \) und \( v_{y}(t) \) des Geschwindigkeitsvektors und die Bahngeschwindigkeit \( v(t) \).</li>
<li>Ermitteln Sie die Komponenten \( a_{x}(t) \) und \( a_{y}(t) \) des Beschleunigungsvektors und die Bahnbeschleunigung \( a_{t}(t) \).</li>
<li>Ermitteln Sie die Komponenten \( a_{n x}(t) \) und \( a_{n y}(t) \) des Vektors der Normalbeschleunigung.</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Räumliche Bewegung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Kinematik des Punktes - Räumliche Bewegung | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

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