Eindimensionale Bewegung

Räumliche Bewegung

Kreisbewegung

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>\[<br />\alpha=23,57^{\circ}, \quad v_{0}=17,16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}<br />\]</p>

<p>Der Ball erreicht den höchsten Punkt seiner Bahn gerade am Tor. Also gilt:</p>


<p>\[<br />H=\frac{1}{2 g}\left(v_{0} \sin (\alpha)\right)^{2}=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} \sin ^{2}(\alpha)<br />\]</p>


<p>Außerdem gilt für den bis zum Erreichen des höchsten Punktes zurückgelegten Weg:</p>


<p>\[<br />L=\frac{v_{0}^{2}}{2 g} \sin (2 \alpha)<br />\]</p>


<p>Aus diesen beiden Gleichungen können die beiden Unbekannten \( \alpha \) und \( v_{0} \) bestimmt werden:</p>


<p>Aus diesen beiden Gleichungen können die beiden Unbekannten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \alpha " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.448ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 640 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-608-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D6FC" xlink:href="#MJX-608-TEX-I-1D6FC"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v_{0} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.085ex" height="1.377ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 921.6 608.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-609-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-609-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-609-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-609-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> bestimmt werden:</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\frac{H}{L}&amp;=\frac{\sin ^{2}(\alpha)}{\sin (2 \alpha)}=\frac{\sin ^{2}(\alpha)}{2 \sin (\alpha) \cos (\alpha)}=\frac{1}{2} \tan (\alpha) \\\\<br />&amp;\Rightarrow \tan (\alpha)=2 \frac{H}{L} \\\\<br />v_{0}^{2}&amp;=\frac{2 g H}{\sin ^{2}(\alpha)}=2 g H \frac{1+\tan ^{2}(\alpha)}{\tan ^{2}(\alpha)}=2 g H \frac{1+4 \frac{H^{2}}{L^{2}}}{4 \frac{H^{2}}{L^{2}}}=2 g \frac{L^{2} / 4+H^{2}}{H}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>\[<br />\tan (\alpha)=2 \cdot \frac{2,4 m}{11 m}=0,4364\quad  \Rightarrow \alpha=23,57^{\circ}<br />\]</p>


<p>\[<br />v_{0}^{2}=2 \cdot 9,81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot \frac{11^{2} \mathrm{~m}^{2} / 4+2,4^{2} \mathrm{~m}^{2}}{2,4 \mathrm{~m}}=294,4 \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \rightarrow v_{0}=17,16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}<br />\]</p>

<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6044a0d180f18686ef114c68.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Ein Fußballspieler möchte einen Elfmeter so schießen, dass der Ball mit waagerechter Bahntangente gerade unter der Torlatte hindurch fliegt.</p>
<p>Mit welcher Geschwindigkeit \( v_{0} \) und mit welchem Winkel \( \alpha \) muss der Ball geschossen werden?</p>
<p><strong>Gegeben:</strong> \( L=11 \mathrm{~m}, \ H=2,4 \mathrm{~m} \)</p>

<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6044a0d180f18686ef114c68.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Ein Fußballspieler möchte einen Elfmeter so schießen, dass der Ball mit waagerechter Bahntangente gerade unter der Torlatte hindurch fliegt.</p>
<p>Mit welcher Geschwindigkeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v_{0} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.085ex" height="1.377ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 921.6 608.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-603-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-603-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-603-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-603-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und mit welchem Winkel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \alpha " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.448ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 640 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-604-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D6FC" xlink:href="#MJX-604-TEX-I-1D6FC"></use></g></g></g></svg></mjx-container> muss der Ball geschossen werden?</p>
<p><strong>Gegeben:</strong> <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" L=11 \mathrm{~m}, \ H=2,4 \mathrm{~m} " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.587ex" height="1.984ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 9541.4 877" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-605-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-605-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Räumliche Bewegung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Kinematik des Punktes - Räumliche Bewegung | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

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