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Aufgabenstellung:

AbbildungDie beiden Rollen und sind reibungsfrei gelenkig gelagert und durch einen dehnstarren Riemen verbunden, der auf den Rollen haftet. Die Rollen haben die Massenträgheitsmomente bzw. bezüglich ihrer Lager.

Über den äußeren Umfang der Rolle verläuft ein dehnstarres Seil, an dem die beiden Massen und befestigt sind.

Über den inneren Umfang der Rolle verläuft ein dehnstarres Seil, an dem die Massen und befestigt sind.

Die Seile und der Riemen sind masselos.

  1. Geben Sie die Geschwindigkeiten und der Massen bis sowie die Winkelgeschwindigkeiten und der Rollen und in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit der Masse an.
  2. Ermitteln Sie die Beschleunigungen und der Massen sowie die Winkelbeschleunigungen und der Rollen.
  3. Ermitteln Sie die Seilkräfte bis in den Seilen, an denen die Massen hängen.

Gegeben:


Lösungsweg:

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a) Kinematische Beziehungen

Abbildung

Rolle 1:

Rolle 2 :

Zahlenwerte:

b) Beschleunigungen und Winkelbeschleunigungen

Das System besteht aus starr miteinander verbundenen starren Körpern, und die einzige Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die konservative Gewichtskraft. Das System kann also mit dem Energieerhaltungssatz berechnet werden. Dazu wird zunächst ermittelt. Daraus lassen sich alle anderen Größen mithilfe der kinematischen Beziehungen ermitteln.

Das Nullniveau für die Lageenergien der Massen wird jeweils in die Ruhelage gelegt. Dann ist die Gesamtenergie in der Ruhelage null, und der Energieerhaltungssatz lautet:

Kinetische Energie in der ausgelenkten Lage:

Lageenergie in der ausgelenkten Lage:

Mit und folgt:

Einsetzen in den Energieerhaltungssatz ergibt:

Für die Beschleunigung von Masse 1 folgt:

Für die übrigen Beschleunigungen folgt aus den kinematischen Beziehungen:

Für die Winkelbeschleunigungen folgt aus den kinematischen Beziehungen:

Zahlenwerte:

c) Seilkräfte

Die Seilkräfte können aus den Schwerpunktsätzen für die Massen berechnet werden:

Abbildung

Daraus folgt:

Zahlenwerte:

Lösung: