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Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Abbildung mit

1. Zeige, dass die Abbildung in genau einen Fixpunkt besitzt.

2. Wie viele Schritte sind nötig, um bis auf einen Fehler zu garantieren? Wähle als Startvektor

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Existenz des Fixpunktes:

Prüfe die Voraussetungen für den Banachschen Fixpunktsatz:

Haben wir hier einen Banachraum?

ist ein Banachraum

Ist das Intervall abgeschlossen?

ist abgeschlossen

Selbstabbildung:

Ist monoton?

ist als Funktion von monoton wachsend.

Schätze auf dem Intervall ab:

Schätze auf dem Intervall ab:

Kontraktivität:

Schätze ab:

Gilt nach Mittelwertsatz.

Somit konvergiert die Folge mit gegen den eindeutigen Fixpunkt

Bestimmung der Schrittzahl:

Setze in den Term ein:

Somit reicht  also aus, um den vorgegebenen Fehler zu unterschreiten.

Lösung:

Somit konvergiert die Folge mit gegen den eindeutigen Fixpunkt

Mit ist bis auf einen Fehler genau bestimmt.

Definition

Partielle Ableitung

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Hinweis

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

Vorgehen

Partiell ableiten

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.