Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Fourierreihen

Implizite Funktionen

Partielle Ableitungen

Banachscher Fixpunktsatz

Satz über Umkehrabbildungen (lokal)

Jacobi-Matrix

Satz über Umkehrabbildung (mehrdimensional)

Lokaler Umkehrsatz

Taylorpolynome (mehrdimensional)

Der Gradient

Die Hesse-Matrix

Mehrdimensionale Taylorformel

Satz von Schwarz

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt $\bar{x}=f(\bar{x})$ in $\mathbb{D}=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$</p>
<p></p>
<p>Für $n \geq 9$ gilt:</p>
<p>\[</p>
<p>\left|x^{*}-x_{n}\right| \leq \frac{1}{1000}</p>
<p>\]</p>

<p>Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\bar{x}=f(\bar{x})" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.61ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3805.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10454-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 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<p></p>
<p>Für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \geq 9" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10456-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10456-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-10456-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10456-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10456-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10456-TEX-N-39"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\left|x^{*}-x_{n}\right| \leq \frac{1}{1000}
" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.135ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 7573.8 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10457-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-10457-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 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<p><strong>Existenz des Fixpunktes:</strong></p>


<p>$(V,\|\cdot\|)=(\mathbb{R},|\cdot|)$ ist ein Banachraum</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(V,\|\cdot\|)=(\mathbb{R},|\cdot|)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.712ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8270.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10432-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10432-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 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<p>$\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ ist ein abgeschlossenes Intervall</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]" style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.244ex" height="2.748ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 3643.8 1214.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10433-TEX-SO-5B" d="M202 -349V850H394V810H242V-309H394V-349H202Z"></path><path id="MJX-10433-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10433-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10433-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-10433-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-10433-TEX-SO-5D" d="M22 810V850H214V-349H22V-309H174V810H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-SO-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(417, 0)"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1195, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1988.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2433.2, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3226.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10433-TEX-SO-5D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> ist ein abgeschlossenes Intervall</p>


<p>\begin{align*}|f(x)|=\left|\frac{1}{6} \cdot\left(x^{3}+1\right)+\frac{1}{4} \cdot\left(x^{2}-x\right)\right|\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\quad \quad\ \  \leq \frac{1}{6} \cdot\left(|x|^{3}+1\right)+\frac{1}{4} \cdot\left(|x|^{2}+|x|\right)\end{align*}</p>


<p>Setze den größten Wert des Intervalls ein:</p>


<p>\begin{align*}\quad \quad\ \ \leq \frac{1}{6}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+1\right)+\frac{1}{4} \cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\quad \quad\ \ &amp;=\frac{1}{6} \cdot \frac{9}{8}+\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \\</p>
<p>&amp;=\frac{3}{8} \leq \frac{1}{2}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Somit gilt: $-\frac{1}{2} \leq f(x) \leq \frac{1}{2} \quad$ für $x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$, $f$ ist also eine Selbstabbildung.</p>


<p>Somit gilt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="-\frac{1}{2} \leq f(x) \leq \frac{1}{2} \quad" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.946ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 7932.2 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10438-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10438-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10438-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-10438-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-10438-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 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103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10438-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10438-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(778, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10438-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use 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143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10439-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-10439-TEX-SO-5B" d="M202 -349V850H394V810H242V-309H394V-349H202Z"></path><path id="MJX-10439-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10439-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10439-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-10439-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-10439-TEX-SO-5D" d="M22 810V850H214V-349H22V-309H174V810H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1794.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-SO-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(417, 0)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1195, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1988.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2433.2, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3226.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10439-TEX-SO-5D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10440-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10440-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist also eine Selbstabbildung.</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>f^{\prime} &amp;=\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{4} \cdot(2 x-1) \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{2} \cdot\left(x^{2}+x-\frac{1}{2}\right) \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{2} \cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{3}{8}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{align*}f^{\prime \prime}(x)=x+\frac{1}{2} \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{D}\end{align*}</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>\lambda &amp;=\max _{x \in \mathbb{D}}\left|f^{\prime}(x)\right| \\</p>
<p>&amp;=\max \left(\left|f^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)\right|,\left|f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\right|\right) \\</p>
<p>&amp;=\max \left(\frac{3}{8}, \frac{1}{8}\right) \\</p>
<p>&amp;=\frac{3}{8}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt $\bar{x}=f(\bar{x})$ in $\mathbb{D}=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$</p>


<p>Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\bar{x}=f(\bar{x})" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.61ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3805.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10444-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10444-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path><path id="MJX-10444-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10444-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-10444-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10444-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10444-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(63.8, -42)"><use xlink:href="#MJX-10444-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10445-TEX-D-1D53B" d="M16 666Q16 675 28 683H193Q329 683 364 682T430 672Q534 650 600 585T686 423Q688 406 688 352Q688 274 673 226Q641 130 565 72T381 1Q368 -1 195 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 53 35Q68 36 75 37T87 42T95 52Q98 61 98 341T95 630Q91 640 83 643T53 648Q16 648 16 666ZM237 646Q237 648 184 648H128Q128 647 133 632Q136 620 136 341Q136 64 133 50L128 35H237L230 48L226 61V343Q228 620 231 633Q232 636 237 646ZM264 61Q278 40 310 35Q363 35 401 55T461 112T496 193T513 295Q515 333 515 349Q515 411 504 459Q481 598 373 641Q351 648 321 648Q304 648 292 643T277 635T264 621V61ZM461 628Q462 627 471 616T489 594T509 559T529 509T544 441T550 352Q550 165 479 75L468 59Q474 61 484 65T522 87T573 128T618 195T650 290Q654 322 654 354Q654 418 638 464T581 552Q559 576 529 595T480 621L461 628Z"></path><path id="MJX-10445-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10445-TEX-SO-5B" d="M202 -349V850H394V810H242V-309H394V-349H202Z"></path><path id="MJX-10445-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10445-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10445-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-10445-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-10445-TEX-SO-5D" d="M22 810V850H214V-349H22V-309H174V810H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-D-1D53B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(999.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2055.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-SO-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(417, 0)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1195, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1988.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2433.2, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3226.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10445-TEX-SO-5D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p><strong>Fehler im i-ten Iterationsschritt:</strong></p>


<p>Verwende die a-priori-Fehlerabschätzungsformel:</p>


<p>Für den Startwert $x_{0}=0$ ist $f\left(x_{0}\right)=f(0)=\frac{1}{6},$ so dass:</p>


<p>Für den Startwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_{0}=0" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.881ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 831.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10446-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10446-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-10446-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10446-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10446-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10446-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10446-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f\left(x_{0}\right)=f(0)=\frac{1}{6}," style="vertical-align: -0.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.806ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 7870.2 1225.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10447-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-10447-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(550, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1364.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2581.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3637.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4187.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4576.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5076.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5742.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6798.7, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-36"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7592.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10447-TEX-N-2C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> so dass:</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda} \cdot\left|f\left(x_{0}\right)-x_{0}\right| &amp; \leq \frac{1}{1000} \\</p>
<p>\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda} \cdot \frac{1}{6} &amp; \leq \frac{1}{1000}</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>Verwende <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda=\frac{1}{2}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.131ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 2710.1 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10449-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-10449-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10449-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10449-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10449-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(860.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10449-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1916.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10449-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10449-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}2^{n} \geq \frac{1000}{3}=333 . \overline{3}\end{align*}</p>


<p>Diese Ungleichung ist für $n \geq 9$ erfüllt, so dass für $n \geq 9$ sicher gilt:</p>
<p>\[</p>
<p>\left|x^{*}-x_{n}\right| \leq \frac{1}{1000}</p>
<p>\]</p>

<p>Diese Ungleichung ist für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \geq 9" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10451-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10451-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-10451-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10451-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10451-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10451-TEX-N-39"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erfüllt, so dass für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \geq 9" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10452-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10452-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-10452-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10452-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10452-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10452-TEX-N-39"></use></g></g></g></svg></mjx-container> sicher gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\left|x^{*}-x_{n}\right| \leq \frac{1}{1000}
" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.135ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 7573.8 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10453-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-10453-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10453-TEX-N-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path><path id="MJX-10453-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10453-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10453-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-10453-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10453-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(278, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-2217"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1475.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2476, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3522.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-7C"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4078, 0)"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5133.8, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(970, 676)"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-30" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-30" transform="translate(1000, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-10453-TEX-N-30" transform="translate(1500, 0)"></use></g><rect width="2200" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit </p>
<p>\[f(x)=\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{4}\left(x^{2}-x\right)+\frac{1}{6}\] auf $I=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$</p>
<p></p>
<p>1. Zeige mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass $f$ auf $I$ genau einen Fixpunkt $x^{*}$ besitzt.</p>
<p></p>
<p>2. Schätze für den Startwert $x_{0}=0$ den a priori-Fehler im n-ten Iterationsschritt ab. Wie viele Iterationsschritte benötigt man (höchstens), um eine Genauigkeit von $\left|x^{*}-x_{n}\right| \leq \epsilon=10^{-3}$ zu garantieren? Verwende $\lambda=\frac{1}{2}$</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Banachscher Fixpunktsatz mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Funktionen (mehrdimensionale) - Banachscher Fixpunktsatz | Aufgabe mit


<h2 class="content_sub_heading">Partielle Ableitung</h2>
<p>Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Partiell ableiten</h2>
<p>Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.<br />Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also $f_{xy}=f_{yx}$</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f_{xy}=f_{yx}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.008ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 3981.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-869-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1601.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2657.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: