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Aufgabenstellung:

Untersuche die Stetigkeit der Funktion im Nullpunkt

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Für welche Werte ist eine offensichtlich stetige Funktion?

Für ist aus stetigen Funktionen zusammengesetzt.

Vermutung über Stetigkeit in :

Vermutlich ist im Punkt stetig, weil der höchste Exponent im Zähler größer ist als der höchste Exponent im Nenner.

Beweis der Vermutung:

Transformiere von kartesischen zu Polarkoordinaten:

Einsetzen in führt unter Verwendung von zu:

Bilde den Grenzwert

Damit strebt die Funktion für gegen ihren Funktionswert und ist an der untersuchten Stelle stetig.

Lösung:

ist im Nullpunkt stetig und somit insgesamt stetig.

Definition

Stetigkeit (mehrdimensional)

Man nennt eine Funktion (mit Variablen) stetig im Punkt , wenn

Hier steht für alle Variablen, also .

Hinweis

Wichtig ist hier, dass Stetigkeit mit Folgen nur bewiesen ist, wenn dies für alle Folgen gilt!

(Deswegen verwendet man dies meistens um Unstetigkeit zu zeigen, dann reicht es eine Folge zu finden für die es nicht gilt).

Vorgehen

Stetigkeit zeigen (mehrdimensional)

  1. Prüfe, in welchen Definitionsbereichen die Funktion eine Komposition (Zusammensetzung/Verkettung) aus stetigen Funktionen ist.

  2. Überprüfe nun die Stetigkeit im kritischen Punkt . Dazu schreibst du die Variablen in Polarkoordinaten:
     
    mit

  3. Stelle jeweils nach und um:

    mit

  4. Setze und in die Funktion ein (für  Definitionsbereich ) und berechne:
  5. Wenn dieser Grenzwert () dem Funktionswert an der Stelle entspricht, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig!

Vorgehen

Unstetigkeit zeigen (mehrdimensional)

  1. Finde eine Folge , die für nach konvergiert und eine Folge , die für nach konvergiert (wenn dein kritischer Punkt ist). 

  2. Setze und in die Funktion ein (für Definitionsbereich ) und berechne


  3. Falls dieser Grenzwert () dem Funktionswert an der Stelle nicht entspricht, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig!