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Aufgabenstellung:

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion:

Lösungsweg:

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. Für welche Werte ist offensichtlich eine stetige Funktion?

ist für aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und somit stetig, da gilt

. Vermutung über Stetigkeit in :

Wegen

liegt die Vermutung einer Unstetigkeit im Nullpunkt nahe.

. Beweise die Vermutung:

Um Unstetigkeit im Nullpunkt zu beweisen, führe geeignete Nullfolgen für ein, für die gilt: ,

Setze die beiden Folgen in die Funktion ein:

Bestimme den Grenzwert :

Nutze die Kleinwinkelnäherung für den Sinus: für . Wegen gilt:

Dies widerspricht der Stetigkeitsforderung. Damit ist im Ursprung unstetig, im restlichen, zweidimensionalen Raum der realen Zahlen stetig.

Lösung:

ist im Ursprung unstetig, im restlichen, zweidimensionalen Raum der realen Zahlen stetig.