Folgen, Reihen und Potenzreihen

Komplexe Nullstellen

Hauptargument Winkel 

In diesem Kapitel lernst du die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Darüber hinaus werden komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil getrennt und grafisch dargestellt.

Grundrechenarten

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl

Die Polardarstellung definiert eine komplexe Zahl über einen Betrag und Winkel. In vielen Situationen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl in ihre Polardarstellung zu bringen, um z. B. einfacher Potenzen zu berechnen.

Kartesische- und Polarkoordinaten (Euler)

Wertetabelle Sinus, Cosinus, Tangens

Umrechnen zwischen Kartesischen- und Polarkoordinaten

Potenzieren

Potenzieren einer komplexen Zahl

Wurzelziehen (Formel von Moivre)

Wurzelziehen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit $i$ als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-19-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen lösen

Komplexe Mengen bestehen i. d. R. aus komplexen Ungleichungen und Bedingungen, welche sich auch grafischen interpretieren lassen. Zur Verdeutlichung hilft es die Bedingungen zu vereinfachen und auf bekannte geometrische Formen zurückzuführen.

Komplexe Menge

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Potenziert wird im folgenden Beispielhaft über die exponentielle Polarform:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z&amp;=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \\</p>
<p>&amp;=2^{\frac{1}{2}} e^{i \frac{\pi}{4}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Potenziert wird im folgenden Beispielhaft über die exponentielle Polarform:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z&=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \\
&=2^{\frac{1}{2}} e^{i \frac{\pi}{4}}
\end{align*}" style="vertical-align: -3.292ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.885ex" height="7.715ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1955.1 10999 3410.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5807-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5807-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 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121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 805.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-I-1D467"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(465, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(1333.6, 0)"><g transform="translate(853, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 148.3)"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="60" 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0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(500, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2444.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(345, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(244.7, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5807-TEX-N-34"></use></g><rect width="603.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Bilde <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^4" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.965ex" height="1.929ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 868.6 852.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5808-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5808-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5808-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(465, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5808-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>z^{4}&amp;=\left(2^{\frac{1}{2}} e^{i \frac{\pi}{4}}\right)^{4} \\</p>
<p>&amp;=2^{2} e^{i \pi}\\</p>
<p>&amp;=4 e^{i \pi}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Überführe den Ausdruck in kartesische Koordinaten:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{z^4}&amp;=4(\cos \pi+i \sin \pi)\\</p>
<p>&amp;=4(-1+i 0) \\</p>
<p>&amp;=-4</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Berechne $z^4$ mit:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^4" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.965ex" height="1.929ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 868.6 852.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5805-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5805-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5805-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(465, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5805-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
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<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Potenzieren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Komplexe Zahlen - Potenzieren | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Potenzieren einer komplexen Zahl</h2>
<ol>
<li>Überführe ggf. die zu potenzierende komplexe Zahl aus der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung:<br />\begin{align*} \Rightarrow z=r \cdot e^{i \varphi}=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Bestimme die geforderte Potenz der komplexen Zahl. Nutze hierfür:<br />
<ul>
<li>Exponentielle Polardarstellung: <br />\begin{align*}\quad z^{n}=\left(r \cdot e^{i \varphi}\right)^{n}=r^{n} \cdot e^{i n \varphi}\end{align*}</li>
<li>Trigonometrische Polardarstellung (Satz von Moivre): <br />\begin{align*}\quad z^{n}=r^{n}(\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi))\end{align*}</li>
</ul>
</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: