Folgen, Reihen und Potenzreihen

Komplexe Nullstellen

Hauptargument Winkel 

In diesem Kapitel lernst du die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Darüber hinaus werden komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil getrennt und grafisch dargestellt.

Grundrechenarten

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl

Die Polardarstellung definiert eine komplexe Zahl über einen Betrag und Winkel. In vielen Situationen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl in ihre Polardarstellung zu bringen, um z. B. einfacher Potenzen zu berechnen.

Kartesische- und Polarkoordinaten (Euler)

Wertetabelle Sinus, Cosinus, Tangens

Umrechnen zwischen Kartesischen- und Polarkoordinaten

Potenzieren

Potenzieren einer komplexen Zahl

Wurzelziehen (Formel von Moivre)

Wurzelziehen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit $i$ als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-19-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen lösen

Komplexe Mengen bestehen i. d. R. aus komplexen Ungleichungen und Bedingungen, welche sich auch grafischen interpretieren lassen. Zur Verdeutlichung hilft es die Bedingungen zu vereinfachen und auf bekannte geometrische Formen zurückzuführen.

Komplexe Menge

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Potenziert wird im folgenden Beispielhaft über die exponentielle Polarform:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z&amp;=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \\</p>
<p>&amp;=2 e^{i \frac{\pi}{3}}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Potenziert wird im folgenden Beispielhaft über die exponentielle Polarform:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z&=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \\
&=2 e^{i \frac{\pi}{3}}
\end{align*}" style="vertical-align: -3.184ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.955ex" height="7.499ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1907.3 10146 3314.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5801-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5801-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 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46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-5801-TEX-LO-29" d="M35 1138Q35 1150 51 1150H56H69Q113 1113 153 1069T243 944T330 771T391 541T416 250T391 -40T330 -270T243 -443T152 -568T69 -649H56Q43 -649 39 -647T35 -637Q65 -607 110 -548Q283 -316 316 56Q324 133 324 251Q324 368 316 445Q278 877 48 1123Q36 1137 35 1138Z"></path><path id="MJX-5801-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 757.8)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-I-1D467"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(465, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1833.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(597, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-63"></use><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1935, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2101.7, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-33"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3333.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4334.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4845.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6073.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6240.4, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-33"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7250.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-LO-29"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1157.3)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(465, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(465, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1833.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(345, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(244.7, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5801-TEX-N-33"></use></g><rect width="603.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Bilde <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^3" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.965ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 868.6 844.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5802-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5802-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5802-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(465, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5802-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>z^{3}&amp;=\left(2 e^{i \frac{\pi}{3}}\right)^{3}\\</p>
<p>&amp;=2^{3} e^{i \frac{\pi}{3} 3}\\</p>
<p>&amp;=2^{3} e^{i \pi}\\</p>
<p>&amp;=8 \ e^{i \pi}\\</p>
<p>&amp;=8(\cos \pi+i \sin \pi)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Berechne $z^3$ mit:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in trigonometrischer und exponentieller Polarform an.</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^3" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.965ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 868.6 844.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5799-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5799-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5799-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(465, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5799-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)
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<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in trigonometrischer und exponentieller Polarform an.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Potenzieren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Komplexe Zahlen - Potenzieren | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Potenzieren einer komplexen Zahl</h2>
<ol>
<li>Überführe ggf. die zu potenzierende komplexe Zahl aus der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung:<br />\begin{align*} \Rightarrow z=r \cdot e^{i \varphi}=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Bestimme die geforderte Potenz der komplexen Zahl. Nutze hierfür:<br />
<ul>
<li>Exponentielle Polardarstellung: <br />\begin{align*}\quad z^{n}=\left(r \cdot e^{i \varphi}\right)^{n}=r^{n} \cdot e^{i n \varphi}\end{align*}</li>
<li>Trigonometrische Polardarstellung (Satz von Moivre): <br />\begin{align*}\quad z^{n}=r^{n}(\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi))\end{align*}</li>
</ul>
</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: