2x2 Matrix

Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Determinantenberechnung mit Gauß'schem Eliminationsverfahren

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Regel von Sarrus (3x3)

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Die Determinante von $A$ ergibt sich zu $\det(A)=12$.

Die Determinante von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7300-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7300-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich zu <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\det(A)=12" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.879ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5250.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7301-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-7301-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-64"></use><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-65" transform="translate(556, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-74" transform="translate(1000, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1389, 0)"><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2528, 0)"><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3194.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4250.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-7301-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.

Bringe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7296-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7296-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf Zeilenstufenform:

\begin{align*}
&amp;\left(\begin{array}{cccc}
1 &amp; 2 &amp; 4 &amp; 8 \\
1 &amp; 3 &amp; 9 &amp; 27 \\
1 &amp; 4 &amp; 16 &amp; 64 \\
1 &amp; 5 &amp; 25 &amp; 125
\end{array}\right) \\ \\
\rightarrow &amp; \left(\begin{array}{cccc}
1 &amp; 2 &amp; 4 &amp; 8 \\
0 &amp; 1 &amp; 5 &amp; 19 \\
0 &amp; 2 &amp; 12 &amp; 56 \\
0 &amp; 3 &amp; 21 &amp; 117
\end{array}\right) \\ \\
\rightarrow &amp; \left(\begin{array}{cccc}
1 &amp; 2 &amp; 4 &amp; 8 \\
0 &amp; 1 &amp; 5 &amp; 19 \\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 18 \\
0 &amp; 0 &amp; 6 &amp; 60
\end{array}\right) \\ \\
\rightarrow &amp;\left(\begin{array}{cccc}
1 &amp; 2 &amp; 4 &amp; 8 \\
0 &amp; 1 &amp; 5 &amp; 19 \\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 18 \\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 6
\end{array}\right)=:A^\prime\end{align*}

Bilde das Produkt der Hauptdiagonalen, um die Determinante von $A$ zu erhalten:

Bilde das Produkt der Hauptdiagonalen, um die Determinante von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7298-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7298-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu erhalten:

\begin{align*}
\det(A) &amp;= \det(A^\prime) \\
&amp;=1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 \\
&amp;=12
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\det(A) &= \det(A^\prime) \\
&=1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 \\
&=12
\end{align*}" style="vertical-align: -3.574ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.045ex" height="8.278ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2079.5 8417.9 3659" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7299-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-7299-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 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Bestimme die Determinante von $A$ mit dem Gauß-Algorithmus:

\begin{align*}
A= \left(\begin{array}{cccc}
1 &amp; 2 &amp; 4 &amp; 8 \\
1 &amp; 3 &amp; 9 &amp; 27 \\
1 &amp; 4 &amp; 16 &amp; 64 \\
1 &amp; 5 &amp; 25 &amp; 125
\end{array}\right)\end{align*}

Bestimme die Determinante von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7294-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7294-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit dem Gauß-Algorithmus:

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A= \left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 4 & 8 \\
1 & 3 & 9 & 27 \\
1 & 4 & 16 & 64 \\
1 & 5 & 25 & 125
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transform="translate(0, -2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-N-35"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5000, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-N-35" transform="translate(1000, 0)"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7375, 0)"><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 1696)"></use><use xlink:href="#MJX-7295-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1706)"></use><svg width="875" height="1782" y="-641" x="0" 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der

Determinanten bestimmen - Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determi

<h2 class="content_sub_heading">Determinante mittels Gauß</h2>
<ol>
<li>Verwende das Gauß'sche Eliminationsverfahren, um die Matrix $A$ auf Zeilenstufenform (rechte obere Dreiecksmatrix) zu bringen. Beachte dabei:
<ul>
<li>
Wenn du zwei Zeilen vertauschst, verändert sich das Vorzeichen der Determinante. Rechne daher mal $(-1)$ für jedes vertauschen.
</li>
<li>
Wenn du ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addierst, ändert sich die Determinante nicht.
 \begin{align*} \quad \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc}
a^\prime_{11}&amp; \cdots &amp; * \\
&amp; \ddots &amp; \vdots \\
\color{#DC6955}{0} &amp; &amp; a^\prime_{nn}
\end{array}\right) =: A^\prime\end{align*}
 
</li>
</ul>
</li>
<li>Wenn $A$ nun eine Dreiecksmatrix $A^\prime$ ist, dann kannst du die Determinante als das Produkt der Hauptdiagonalelemente berechnen. (Beachte die Zeilenvertauschungen) \begin{align*} \Rightarrow \det(A)= \left(-1\right)^{\#\text{Vertauschungen}} \cdot a^\prime_{11} \cdot a^\prime_{22} \cdot \ ...\ \cdot a^\prime_{nn}\end{align*}</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: