Gaußverfahren

Lösungsmenge bestimmen (Gaußverfahren)

Mit der Regel von Cramer lässt sich die Lösung eines eindeutig lösbaren linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten berechnen. 

Cramer'sche Regel

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

\begin{align*}L=\left\{x \in \mathbb{R}^{5} \bigg| x=\left(\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \quad, \quad r, s \in \mathbb{R}\right\}\end{align*}

1. Definiere die erweiterte Koeffizientenmatrix

\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 3 \\
1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 0 &amp; 6 \\
2 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -1 &amp; 5 \\
-1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -2 &amp; -1 &amp; -1
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{II}) \\
(\mathrm{III}) \\
(\mathrm{IV})
\end{array}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & -3 & 0 & 6 \\
2 & -1 & 0 & 1 & -1 & 5 \\
-1 & 2 & 0 & -2 & -1 & -1
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{II}) \\
(\mathrm{III}) \\
(\mathrm{IV})
\end{array}
\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.554ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 16599 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4584-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-4584-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-4584-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 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680 152 680Q273 680 294 683H305V637H284Q223 634 223 620Q223 618 313 372T404 126L490 358Q575 588 575 597Q575 616 554 626T508 637H503V683H512Q527 680 627 680Q718 680 724 683H730V637H723Q648 637 627 596Q627 595 515 291T401 -14Q396 -22 382 -22H374H367Q353 -22 348 -14Q346 -12 231 303Q114 617 114 620Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 1696)"></use><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1706)"></use><svg width="875" height="1782" y="-641" x="0" viewBox="0 402.4 875 1782"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 4.311)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 2100)"><g data-mml-node="mtd" 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transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4556, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6445, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8334, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(11071, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-35"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2667, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4556, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6056, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8334, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10682, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-31"></use></g></g></g><line data-line="v" class="mjx-solid" x1="10147" y1="-2350" x2="10147" y2="2850"></line></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12835, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 1696)"></use><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1706)"></use><svg width="875" height="1782" y="-641" x="0" viewBox="0 402.4 875 1782"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 4.311)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(13710, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(14710, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(361, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1111, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(361, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(722, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1472, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-49"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(361, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1500, 0)"><use xlink:href="#MJX-4584-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

2. Bring die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform

\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 3 \\
0 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -3 &amp; -1 &amp; 3 \\
0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -3 &amp; -1 \\
0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 0 &amp; 2
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
 \\
(\mathrm{II})^* \phantom{i} :=(\mathrm{II})-(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{III})^* :=(\mathrm{III})-2\cdot(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{IV})^* :=(\mathrm{IV})+(\mathrm{I})
\end{array}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 0 & -3 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 & -3 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 2
\end{array}\right)
\quad
\begin{array}{l}
 \\
(\mathrm{II})^* \phantom{i} :=(\mathrm{II})-(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{III})^* :=(\mathrm{III})-2\cdot(\mathrm{I}) \\
(\mathrm{IV})^* :=(\mathrm{IV})+(\mathrm{I})
\end{array}
\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="52.609ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 23253 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4585-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-4585-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 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\quad
\begin{array}{l}
 \\
(\mathrm{III})^* \\
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(\mathrm{IV})^{**}:=(\mathrm{IV})^*-(\mathrm{III})^*
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Es gibt eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix. Wähle daher für jede Abweichung von der Zeilenstufdorm (hier für Spalte 3 und 5) einen freien Parameter. Setze also z.B. $x_3 = r$ und $x_5=s$ und bestimme die Lösungen für $x_1,x_2,x_3$ durch Einsetzen.

Es gibt eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix. Wähle daher für jede Abweichung von der Zeilenstufdorm (hier für Spalte 3 und 5) einen freien Parameter. Setze also z.B. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_3 = r" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.245ex" height="1.694ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 2760.1 748.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4588-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path 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\Rightarrow x_{4}&=-1+s \\
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\Rightarrow x_{1}&=3+2s-s\\&=3+s
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Damit ergibt sich die Lösungsgesamtheit des LGS:

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem $A x=b$

\begin{align*}\left(\begin{array}{ccccc}
1 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 0 \\
2 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -1 \\
-1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -2 &amp; -1
\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
5 \\
-1
\end{array}\right) \quad, \quad x \in \mathbb{R}^{5}.\end{align*}
Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A x=b" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.979ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3084.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4582-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-4582-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4582-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4582-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1599.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2655.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4582-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -3 & 0 \\
2 & -1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & -2 & -1
\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
5 \\
-1
\end{array}\right) \quad, \quad x \in \mathbb{R}^{5}.\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="51.269ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 22660.8 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4583-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-4583-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-4583-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 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Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gaußverfahren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare Gleichungssysteme lösen - Gaußverfahren | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Lineares Gleichungssystem mit Gauß lösen</h2>
<ol>
<li>Schreibe die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A | b)$ des Gleichungssystems auf, indem du die Variablen weglässt und nur die Koeffizienten in eine Matrix schreibst.</li>
<li>Verwende den Gauß-Algorithmus, um die erweiterte Koeffizientenmatrix in die Zeilenstufenform zu bringen. Ziehe hierfür ein vielfaches der erste Zeile von den unteren Zeilen ab, sodass bei diesen jeweils eine $0$ in der ersten Spalte entsteht. Wiederhole dieses Vorgehen nun mit der jeweils nächsten Zeile bis in der Matrix überall Nullen unter der Hauptdiagonalen stehen. Es kann helfen durch Zeilentausch die betragsmäßig kleinste Zahl (außer 0) in die jeweils linke obere ecke zu bringen. 
\begin{align*} \quad \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}
*&amp; \cdots &amp; * &amp; *\\
&amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
\color{#DC6955}{0} &amp; &amp; * &amp; *
\end{array}\right)\end{align*}
</li>
<li>
Bestimme die Lösungsmenge:
<ul>
<li>
Wenn die Zeilenstufenform Dreiecksgestalt annimmt, existiert genau eine Lösung. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)=n$ (Anzahl der Variablen) $\Rightarrow$ Die Lösung erhälst du durch Einsetzen.
</li>
<li>
Wenn es eine Nullzeile in der Koeffizientenmatrix gibt, rechts im Lösungsvektor $b$ aber keine $0$ in dieser Zeile steht, kann es keine Lösung geben. $\operatorname{rang}(A) \neq \operatorname{rang}(A | b)$ $\Rightarrow$ Die Lösungsmenge ist in diesem Fall die leere Menge, also $L=\varnothing$.
</li>
<li>
Wenn es eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix oder mehr Variablen als Zeilen gibt, so existieren unendlich viele Lösungen. $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A | b)&amp;lt;n$ $\Rightarrow$ Den Lösungsraum kannst du bestimmen, indem du die $x_i$, die nicht an einer Stufenkante stehen, durch einen freien Parameter (z.B. $\lambda_i \in \mathbb{R}$), ersetzt.
</li>
</ul>
</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: