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Aufgabenstellung:

Zeige mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion mit:

in **genau einen** Fixpunkt besitzt.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Stelle die Fixpunktgleichung auf und schreibe sie in ein Nullstellenproblem um:

Fixpunkt :

Das äquivalente Nullstellenproblem:

Untersuche die Ränder, indem du und in einsetzt:

Zwischenwertsatz:

Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gibt es also mindestens eine Zahl so, dass

Prüfe noch die Monotonie von , um zu zeigen, dass es nur einen Fixpunkt im Intervall gibt.

Für die Ableitung gilt:

streng monoton wachsend auf

Schreibe eine finale Schlussfolgerung für auf:

Lösung:

hat genau einen Fixpunkt auf , da nur eine Nullstelle besitzt und monoton steigt.