Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Das Taylorpolynom ergibt sich zu:
\begin{align*}
T_{(3,0)}(x)&amp;=1-x+x^{2}-x^{3}
\end{align*}

Das Taylorpolynom ergibt sich zu:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
T_{(3,0)}(x)&=1-x+x^{2}-x^{3}
\end{align*}" style="vertical-align: -0.834ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.932ex" height="2.8ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -868.7 11461.8 1237.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1887-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 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-156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1887-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -15.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(584, -176.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1167, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1667, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2087.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2476.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3048.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3437.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2055.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3056, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3850.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4850.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6048.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1887-TEX-N-2212"></use></g><g 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Schreibe das zu bestimmende Taylorpolynom auf:

\begin{align*}
T_{(3,0)}(x)&amp;=\frac{f^{(0)}(0)(x-0)^{0}}{0 !}+\frac{f^{\prime}(0)(x-0)^{1}}{1 !}+\frac{f^{\prime \prime}(0)(x-0)^{2}}{2 !}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)(x-0)^{3}}{3 !}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
T_{(3,0)}(x)&=\frac{f^{(0)}(0)(x-0)^{0}}{0 !}+\frac{f^{\prime}(0)(x-0)^{1}}{1 !}+\frac{f^{\prime \prime}(0)(x-0)^{2}}{2 !}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)(x-0)^{3}}{3 !}
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width="5995.9" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(23028.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(24028.9, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(603, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(275, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1236.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1625.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2125.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2514.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2903.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3697.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4697.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5197.8, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2826.2, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-1882-TEX-N-21"></use></g></g><rect width="6190.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Berechne die ersten $3$ Ableitungen und setze jeweils den Entwicklungspunkt $a=0$ ein:

Berechne die ersten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1883-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1883-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Ableitungen und setze jeweils den Entwicklungspunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a=0" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1884-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1884-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1884-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1884-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1884-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1862.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1884-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein:

\begin{alignat*}{1}
f(x) &amp;&amp;&amp;=\frac{1}{1+x} &amp;&amp;\Rightarrow f(0)&amp;=1 \\
f^{\prime}(x) &amp;&amp;&amp;=-\frac{1}{(1+x)^{2}} &amp;&amp;\Rightarrow f^{\prime}(0)&amp;=-1 \\
f^{\prime \prime}(x) &amp;&amp;&amp;=\frac{2}{(1+x)^{3}} &amp;&amp;\Rightarrow f^{\prime \prime}(0)&amp;=2 \\
f^{\prime \prime \prime}(x) &amp;&amp;&amp;=-\frac{6}{(1+x)^{4}} &amp;&amp;\Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(0)&amp;=-6
\end{alignat*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{alignat*}{1}
f(x) &&&=\frac{1}{1+x} &&\Rightarrow f(0)&=1 \\
f^{\prime}(x) &&&=-\frac{1}{(1+x)^{2}} &&\Rightarrow f^{\prime}(0)&=-1 \\
f^{\prime \prime}(x) &&&=\frac{2}{(1+x)^{3}} &&\Rightarrow f^{\prime \prime}(0)&=2 \\
f^{\prime \prime \prime}(x) &&&=-\frac{6}{(1+x)^{4}} &&\Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(0)&=-6
\end{alignat*}" style="vertical-align: -10.693ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.605ex" height="22.518ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -5226.4 15295.4 9952.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1885-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-1885-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 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xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1708, 676)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.2)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1111.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2111.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2683.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><rect width="3676" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8613.9, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8613.9, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1555.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(603, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(275, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2597.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2986.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3486.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(12683.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -3748.7)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(603, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(275, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1236.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1625.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2197.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2586.4, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2586.4, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2586.4, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2111.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1708, 676)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -727.7)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1111.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2111.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2683.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-34"></use></g></g></g></g><rect width="3676" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8613.9, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8613.9, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1555.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(603, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(275, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2791.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3180.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3680.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(12683.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2111.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1885-TEX-N-36"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze die berechneten Werte für die Ableitungen in die Formel ein und vereinfache:

\begin{align*}
T_{(3,0)}(x)&amp;=\frac{f^{(0)}(0)(x-0)^{0}}{0 !}+\frac{f^{\prime}(0)(x-0)^{1}}{1 !}+\frac{f^{\prime \prime}(0)(x-0)^{2}}{2 !}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)(x-0)^{3}}{3 !} \\
&amp;=\frac{1 \cdot (x-0)^{0}}{0 !}+\frac{-1 \cdot (x-0)^{1}}{1}+\frac{2 \cdot (x-0)^{2}}{2}-\frac{6 \cdot (x-0)^{3}}{6} \\
&amp;=1-x+x^{2}-x^{3}
\end{align*}

Berechne das Taylorpolynom für $f(x)$ mit der Ordnung $n=3$ um den Entwicklungspunkt $a=0$.
\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{1+x}
\end{align*}

Berechne das Taylorpolynom für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1878-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path 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<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{1+x}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.821ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.502ex" height="4.774ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1305 5968 2110" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1881-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-1881-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1881-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1881-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1881-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1881-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1881-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -37)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3233.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1117.2, 676)"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1881-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="2494.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Taylorpolynome mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Taylorpolynome | Aufgabe mit Lösu

<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
Konstantenregel:
$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$
 
Faktorregel:
$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$
 
Potenzregel:
$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$
 
Summenregel:
$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$
 
Produktregel:
$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$
 
Kettenregel:
$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$
 
Quotientenregel:
$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$

<h2 class="content_sub_heading">Taylorpolynom</h2>
<ol>
<li>Stelle das gesuchte Taylorpolynom auf, indem du die einzelnen Sumanden ausschreibst. Dabei bezeichnet $n$ die Ordnung und $a$ den Entwicklungspunkt. \begin{align*}\quad T_{a, n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a) \cdot(x-a)^{k}}{k !}\end{align*}Ob du die Schreibweise $\ T_{a, n}(x)$ oder $\ T_{n, a}(x)$ benutzt spielt keine Rolle.</li>
<li>Bestimme die ersten $n$ Ableitungen von $f$.</li>
<li>Berechne den Wert der Ableitungen an der Stelle $a$.</li>
<li>Setze alles in das aufgestellte Taylorpolynom ein und vereinfache den Ausdruck.</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: