Die meisten Gleichungen besitzen eine oder mehrere Lösungen. Wie du diese Lösungen (Lösungsmenge) bestimmst lernst du hier.

Gleichungen

Meistens (aber nicht immer) besteht die Lösungsmenge einer Ungleichung aus einem ganzen Wertebereich. Hier lernst du diesen Wertebereich zu bestimmen.

Ungleichungen

Ungleichungen umformen

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>$L=\{x \in \mathbb{R} \ \Big| \ x&amp;gt;0 \wedge x \neq 1\}$</p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="L=\{x \in \mathbb{R} \ \Big| \ x>0 \wedge x \neq 1\}" style="vertical-align: -1.27ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.798ex" height="3.672ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1061.5 12286.7 1623" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2894-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-2894-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 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285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2894-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(958.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2894-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2014.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2894-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2514.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2894-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3364.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2894-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" 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<p>\begin{aligned}</p>
<p>&amp;&amp; x^{3} &amp;&amp;gt;2 x^{2}-x \\</p>
<p> \Leftrightarrow &amp;&amp; x^{3}-2 x^{2}+x&amp;&amp;gt;0 \\</p>
<p> \Leftrightarrow &amp;&amp; x\left(x^{2}-2 x+1\right) &amp;&amp;gt;0 \\</p>
<p> \Leftrightarrow &amp;&amp; x \cdot \left(x-1\right)^2&amp;&amp;gt;0 \\</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}
&& x^{3} &>2 x^{2}-x \\
 \Leftrightarrow && x^{3}-2 x^{2}+x&>0 \\
 \Leftrightarrow && x\left(x^{2}-2 x+1\right) &>0 \\
 \Leftrightarrow && x \cdot \left(x-1\right)^2&>0 \\
\end{aligned}" style="vertical-align: -5.768ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.864ex" height="12.668ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3049.6 14084 5599.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2890-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2890-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 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data-mml-node="mn" transform="translate(2183.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2890-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2683.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2890-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3072.4, 477.1) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2890-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(9480.4, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2890-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2890-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Schau dir an für welche $x$-Werte die vereinfachte Ungleichung gilt (bzw. nicht gilt) und formuliere die Lösungsmenge L:</p>


<p>Schau dir an für welche <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2891-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2891-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Werte die vereinfachte Ungleichung gilt (bzw. nicht gilt) und formuliere die Lösungsmenge L:</p>


<p>Die Ungleichung ist erfüllt für alle $x&amp;gt;0$ mit $x \neq 1$</p>

<p>Die Ungleichung ist erfüllt für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x>0" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 706" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2892-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2892-TEX-N-3E" d="M84 520Q84 528 88 533T96 539L99 540Q106 540 253 471T544 334L687 265Q694 260 694 250T687 235Q685 233 395 96L107 -40H101Q83 -38 83 -20Q83 -19 83 -17Q82 -10 98 -1Q117 9 248 71Q326 108 378 132L626 250L378 368Q90 504 86 509Q84 513 84 520Z"></path><path id="MJX-2892-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2892-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2892-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2892-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \neq 1" style="vertical-align: -0.486ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="2.106ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2405.6 931" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2893-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2893-TEX-N-2260" d="M166 -215T159 -215T147 -212T141 -204T139 -197Q139 -190 144 -183L306 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H327L406 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H426Q597 702 602 707Q605 716 618 716Q625 716 630 712T636 703T638 696Q638 692 471 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L451 327L371 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H351Q175 -210 170 -212Q166 -215 159 -215Z"></path><path id="MJX-2893-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2893-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2893-TEX-N-2260"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2893-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimmen Sie die Lösungsmenge $L$ der Ungleichung:</p>
<p>$$x^{3}&amp;gt;2 x^{2}-x$$</p>

<p>Bestimmen Sie die Lösungsmenge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="L" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 681 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2888-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2888-TEX-I-1D43F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> der Ungleichung:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="x^{3}>2 x^{2}-x" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.622ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 5579.1 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2889-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2889-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2889-TEX-N-3E" d="M84 520Q84 528 88 533T96 539L99 540Q106 540 253 471T544 334L687 265Q694 260 694 250T687 235Q685 233 395 96L107 -40H101Q83 -38 83 -20Q83 -19 83 -17Q82 -10 98 -1Q117 9 248 71Q326 108 378 132L626 250L378 368Q90 504 86 509Q84 513 84 520Z"></path><path id="MJX-2889-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2889-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2809.1, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4006.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5007.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2889-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Ungleichungen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lösungsmengen bestimmen - Ungleichungen | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Lösungsmengen bestimmen</h2>
<p><strong>1) Bestimme/Untersuche den Definitionsbereich</strong> des angegebenen Ausdrucks. Achte insbesondere auf Wurzeln und/oder Variablen die im Nenner stehen.</p>
<p> </p>
<p><strong>2) Löse die gegebene Gleichung/Ungleichung,</strong> unter Berücksichtigung des ermittelten Definitionsbereiches. Achte insbesondere darauf, ob Fälle unterschieden werden müssen (z.B. bei Beträgen).</p>
<p><em>Falls mehrere einzelne Lösungsmengen entstehen (Fallunterscheidungen), so vereine diese am Ende zu einer Gesamtlösungsmenge.</em></p>



<h2 class="content_sub_heading">Betrag auflösen</h2>
<p>Zum <strong>Auflösen eines Betrages</strong>, führe eine Fallunterscheidung durch. Unterscheide hierfür, wann der Ausdruck im Betrag positiv und wann er negativ wird (Grenze sind Nullstellen des Betrages):</p>
<ol>
<li>Berechne die Nullstellen des Ausdrucks im Betrag.</li>
<li>Die Bereiche ober-und unterhalb der Nullstellen, bilden die zu betrachtenden Fälle.</li>
<li>Löse deinen Ausdruck für die einzelnen Fälle. Der Betrag kann weggelassen werden, wenn der Ausdruck im inneren positiv ist. Wenn er negativ ist wird der Betrag ersetzt durch eine Klammer mit einem Minuszeichen davor.</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Betrag</h2>
<p>Ein Ausdruck mit Betragsstrichen ist immer positiv. Es gilt:</p>
<p>\begin{align*} \quad |x|=\left\{\begin{array}{ll}</p>
<p>x &amp; \text { wenn } x \geq 0 \\</p>
<p>-x &amp; \text { wenn } x&amp;lt;0</p>
<p>\end{array}\right.\end{align*}</p>



<h2 class="content_sub_heading">Betrag</h2>
<p>Ein Ausdruck mit Betragsstrichen ist immer positiv. Es gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*} \quad |x|=\left\{\begin{array}{ll}
x & \text { wenn } x \geq 0 \\
-x & \text { wenn } x<0
\end{array}\right.\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.573ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 11745.1 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-432-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-432-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 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<p>Beim Umformen bzw. Lösen von Ungleichungen dreht sich bei bestimmten Operationen das Relationszeichen um. Also Vorsicht bei:</p>
<ul>
<li><strong>Multiplizieren/dividieren mit negativen Zahlen:</strong> Dabei dreht sich das Relationszeichen um.<br /><br /></li>
<li><strong>Potenzieren mit negativer Zahl:</strong> Dies ist gleichbedeutend mit dem Kehrwert des Ausdruckes. Deswegen dreht sich das Relationszeichen um, wenn beide Seiten positiv sind.<br /><br /></li>
<li><strong>Potenzieren mit geraden Zahl:</strong> Z.B. beim Quadrieren dreht sich das Relationszeichen um, wenn 1.) beide Seiten negativ sind oder 2.) eine Seite negativ ist und im Betrag größer als die andere Seite.<br /><br /></li>
<li><strong>Wurzelziehen:</strong> Dabei ergeben sich immer zwei Fälle: eine positive und eine negative Lösung. Bei der negativen wird das Relationszeichen umgedreht.<br /><br /></li>
<li><strong>Logarithmus:</strong> Beim Anwenden des Logarithmus ändert sich das Relationszeichen nur, wenn die Basis vom Logarithmus kleiner als $1$ ist.</li>
</ul>


<p>Beim Umformen bzw. Lösen von Ungleichungen dreht sich bei bestimmten Operationen das Relationszeichen um. Also Vorsicht bei:</p>
<ul>
<li><strong>Multiplizieren/dividieren mit negativen Zahlen:</strong> Dabei dreht sich das Relationszeichen um.<br /><br /></li>
<li><strong>Potenzieren mit negativer Zahl:</strong> Dies ist gleichbedeutend mit dem Kehrwert des Ausdruckes. Deswegen dreht sich das Relationszeichen um, wenn beide Seiten positiv sind.<br /><br /></li>
<li><strong>Potenzieren mit geraden Zahl:</strong> Z.B. beim Quadrieren dreht sich das Relationszeichen um, wenn 1.) beide Seiten negativ sind oder 2.) eine Seite negativ ist und im Betrag größer als die andere Seite.<br /><br /></li>
<li><strong>Wurzelziehen:</strong> Dabei ergeben sich immer zwei Fälle: eine positive und eine negative Lösung. Bei der negativen wird das Relationszeichen umgedreht.<br /><br /></li>
<li><strong>Logarithmus:</strong> Beim Anwenden des Logarithmus ändert sich das Relationszeichen nur, wenn die Basis vom Logarithmus kleiner als <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-433-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-433-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist.</li>
</ul>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: