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Aufgabenstellung:

Löse das folgende Integral mittels Partialbruchzerlegung:

*Das Einsetzen der Integralgrenzen darfst du bei dieser Aufgabe weglassen.*

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Da der Zählergrad (n=4) größer ist als der Nennergrad (m=3) führen wir zunächst eine Polynomdivision durch (Zähler durch Nenner teilen):

Schreibe den Nenner in Faktoren um. Bestimme hierfür Nullstellen:

Rate eine erste Nullstelle des Nenners und führe eine Polynomdivision durch:

Mit als Nullstelle folgt:

Der Restterm hat keine realen Nullstellen und somit gilt für den aktorisierten Nenner:

Schreibe nun den Partialbruchansatz für auf und multipliziere mit dem Nenner:

Bestimme , , durch wählen geeigneter -Werte:

Wähle , um zu bestimmen.

Wähle und setze , um zu ermitteln.

Um zu bestimmen, bilde eine weitere Gleichung durch einen Koeffizientenvergleich für

*Alternativ ist auch die Wahl eines weiteren -Wertes möglich.*

Schreibe das umgeformte Integral auf:

Integriere:

Lösung:

mit

Vorgehen

Integration durch Partialbruchzerlegung

Liegt ein lntegral über eine gebrochen rationale Funktion mit den Polynomen und vor, so nutze folgende Schritte zur Integration:

  1. Falls (Zählergrad Nennergrad), so führe als Erstes eine Polynomdivision durch.

  2. Zerlege weiter mit einer Partialbruchzerlegung. Es entstehen mehrere kleinere Integrale.

  3. Integriere jedes entstandene Integral einzeln (Summenregel).

Vorgehen

Für :

  1. Faktorisiere den Nenner mit Hilfe seiner Nullstellen (Linearfaktorzerlegung):</p><p>
  2. Stelle die Partialbrüche mit den gefundenen Nullstellen und Variablen auf:
    Hinweis: Sollte eine Mehrfach-Nullstelle vorliegen (z.B. 3 mal ), so berücksichtige dies wie folgt:
  3. Multipliziere die Gleichung mit der Linearfaktorzerlegung von . Kürzen anschließend und vereinfachen.
  4. Vergleiche den entstandenen Ausdruck mit dem ursprünglichem Bruch. Stelle mit einem Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem auf und löse dieses.
  5. Setze die Lösungen für in die Partialbrüche aus 2) ein.

Formel

Integrationsregeln im Überblick

Seien , konst. und ,

Faktorregel

Summenregel

Konstantenregel

Potenzregel

Partielle Integration

Integration durch Substitution

Formel

Liste wichtiger Grundintegrale

Potenzen:

 

Gebrochenrationale Funktionen:

 

Exponentialfunktionen:

 

Irrationale Funktionen:

 

Trigonometrische Funktionen:

 

Hyperbelfunktionen: