2 / 6

Aufgabenstellung:

Löse das folgende Integral mittels Partialbruchzerlegung:

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Schreibe den Nenner in Faktoren um:

Schreibe den Partialbruchansatz auf:

Bestimme , und durch wählen geeigneter -Werte:

Um zu bestimmen multipliziere mit und setze ein:

Um zu bestimmen multipliziere mit und setze ein:

Bestimme durch einsetzen von und und anschließendem ausrechnen:

Schreibe das durch die Partialbruchzerlegung entstandene Integral auf:

Integriere und setze die Grenzen ein:

Lösung:

Vorgehen

Integration durch Partialbruchzerlegung

Liegt ein lntegral über eine gebrochen rationale Funktion mit den Polynomen und vor, so nutze folgende Schritte zur Integration:

  1. Falls (Zählergrad Nennergrad), so führe als Erstes eine Polynomdivision durch.

  2. Zerlege weiter mit einer Partialbruchzerlegung. Es entstehen mehrere kleinere Integrale.

  3. Integriere jedes entstandene Integral einzeln (Summenregel).

Vorgehen

Für :

  1. Faktorisiere den Nenner mit Hilfe seiner Nullstellen (Linearfaktorzerlegung):</p><p>
  2. Stelle die Partialbrüche mit den gefundenen Nullstellen und Variablen auf:
    Hinweis: Sollte eine Mehrfach-Nullstelle vorliegen (z.B. 3 mal ), so berücksichtige dies wie folgt:
  3. Multipliziere die Gleichung mit der Linearfaktorzerlegung von . Kürzen anschließend und vereinfachen.
  4. Vergleiche den entstandenen Ausdruck mit dem ursprünglichem Bruch. Stelle mit einem Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem auf und löse dieses.
  5. Setze die Lösungen für in die Partialbrüche aus 2) ein.

Formel

Integrationsregeln im Überblick

Seien , konst. und ,

Faktorregel

Summenregel

Konstantenregel

Potenzregel

Partielle Integration

Integration durch Substitution

Formel

Liste wichtiger Grundintegrale

Potenzen:

 

Gebrochenrationale Funktionen:

 

Exponentialfunktionen:

 

Irrationale Funktionen:

 

Trigonometrische Funktionen:

 

Hyperbelfunktionen: