Konvergenz einer Reihe

Konvergenz einer Reihe bedeutet, dass der Wert der Reihe endlich ist:

Divergenz einer Reihe

Divergenz bedeutet das Gegenteil von Konvergenz, also dass der Wert der Reihe unendlich ist:

Reihe

Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden:

Partialsumme
Sei eine beliebige Folge in . Unter der -ten Partialsumme von versteht man die Summe der ersten Glieder von , das heißt:

Reihe
Sei eine beliebige Folge in . Unter einer Reihe versteht man die Folge aller Partialsummen von , das heißt:

Grenzwert einer Reihe
Der Grenzwert einer Reihe ist der Limes der Partialsummenfolge

Folge der Restglieder

Sei eine beliebige konvergente Reihe. Dann konvergiert die Folge der Restglieder gegen 0.

-tes Restglied einer Reihe

Sei eine beliebige Reihe. Als -tes Restglied dieser Reihe bezeichnet man die Reihe:

Klammersetzen in Reihen
Konvergiert eine Reihe, so konvergiert auch jede Reihe gegen denselben Grenzwert, die durch neue Klammern aus der ursprünglichen Reihe entstanden ist. Divergiert eine Reihe, so können beliebig Klammerungen weggelassen werden.

Sei eine konvergente Reihe. Sei außerdem eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit . Hier gibt den Index des ersten Summanden der -ten Teilsumme an, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es gilt also:

• Konvergiert so konvergiert auch gegen denselben Grenzwert.
• Divergiert , so divergiert auch In divergenten Reihen können also Klammerungen weggelassen werden, ohne dass das Grenzwertverhalten verändert wird.

Divergenz der harmonischen Reihe
Die harmonische Reihe divergiert.

absolute Konvergenz
Eine Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn konvergiert.

Absolute Konvergenz impliziert normale Konvergenz.
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.

Kriterium für absolute Konvergenz
Die Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn und konvergieren. In diesem Fall gilt

Umordnung einer Reihe
Sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe eine Umordnung der Reihe .

Umordungssatz für nichtnegative Reihen
Sei eine konvergente Reihe mit für alle . Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert.

Sei eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert. Dann gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die divergiert.

Ist eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so sind die Reihen und beide divergent.

Umordnungssatz - Allgemeine Form

Es konvergiert genau dann jede Umordnung einer konvergenten Reihe , wenn diese Reihe absolut konvergiert.
Anders ausgedrückt: Eine konvergente Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.

Trivialkriterium
Wenn eine Reihe konvergiert, dann ist eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass jede Reihe divergieren muss, falls divergiert oder ist.

Leibniz-Kriterium
Sei eine nichtnegative monoton fallende Folge reeller Zahlen mit , dann konvergiert die alternierende Reihe .

Leibnizkriterium

Die Konvergenz der alternierenden Reihe ist gezeigt, wenn eine monoton fallende Nullfolge ist. Zeige also:

1. ist eine Nullfolge, also: 
   
2. ist monoton fallend, also:
   Nutze zum Nachweis eine äquivalente Umformung

Auswahl des richtigen Konvergenzkriteriums

1. Quotientenkriterium:
   Geeignet wenn vorwiegend aus Produkten/Quotienten von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Exponentialfunktionen besteht.
   
   
2. Wurzelkriterium:
   Besonders geeignet wenn die Gestalt hat.
   
   
3. Majoranten-/Minorantenkriterium:
   Sinnvoll wenn Terme wie enthält oder aus Summanden besteht. z. B.
   
   
4. Leibnizkriterium:
   Zu verwenden wenn alternierendes (Vorzeichen wechselndes) Element besitzt:
   
   
5. Notwendiges Kriterium:
   Damit eine Reihe überhaupt konvergieren kann muss gelten. Kannst du das Gegenteil zeigen, also so divergiert die Reihe sofort.
   
   
6. Wert berechnen:
   Falls eine geometrische Reihe oder Teleskopreihe vorliegt, kannst du den Wert der Reihe berechnen. Hiermit ist dann auch automatisch gezeigt, dass die vorliegende Reihe konvergiert:
   
   
   • Wenn die Form besitzt, so handelt es sich um eine geometrische Reihe.

• • Teleskopreihen erkennt man meistes an Differenzen. Z. B. .

Oft wird in der Aufgabenstellung explizit nach einer Wertberechnung gefragt.

Falls ein Bruch von der Form oder vorliegt:

• Finde die größte Potenz von im Nenner und klammere diese in Zähler und Nenner aus. Kürze anschließend und schaue wo Nullfolgen entstanden sind.

Falls von der Form :

• Nutze zunächst die Umformung um die Form zu erhalten. Nun kannst du obigen Tipp verwenden.

Falls von der Form :

• Bringe den Ausdruck auf die Form und nutze anschließend, dass gilt

In der Praxis ist es normalerweise nicht möglich, eine explizite Darstellung für die Restgliederfolge anzugeben. Jedoch können oft Abschätzungen gefunden werden. So werden wir bei alternierenden Reihen mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums eine Fehlerabschätzung der Restglieder für solche Reihen herleiten. Ebenso können bei Taylorreihen Fehlerabschätzungen gefunden werden.

Das Grenzwertverhalten einer reellwertigen und konvergenten Reihe ist genau dann immun gegen eine Umsortierung ihrer Summanden, wenn sie absolut konvergiert.

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert, aber nicht jede konvergente Reihe konvergiert absolut.

Ist für alle , dann ist Die absolute Konvergenz einer Reihe mit ist damit gleichbedeutend mit der Konvergenz dieser Reihe.

Also: Eine Reihe mit ausschließlich nicht negativen Summanden konvergiert genau dann absolut, wenn sie konvergiert.

Ordnet man eine konvergente Reihe um, so kann diese Umordnung gegen einen anderen Grenzwert konvergieren.

Analog konvergiert auch jede Umordnung einer konvergenten Reihe mit nichtpositiven Gliedern gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe.

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen konvergiert.

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen konvergiert.

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so ist diese bedingt konvergent, d.h. es gibt eine divergente Umordnung dieser Reihe.

Dass eine Folge eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe .

Summenregel für Reihen
Seien und zwei konvergente Reihen. Dann gilt

Faktorregel für Reihen
Sei eine konvergente Reihe und sei eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:

Aufteilungsregel für Reihen
Sei eine Folge. Wenn und konvergieren, dann ist auch konvergent, und es gilt: