Grenzwert Funktion 

In diesem Kapitel werden einfache Folge behandelt, also Folgen welche nicht Rekursiv oder alternierend sind.

Einfache Folgen

Das Sandwichkriterium kann helfen, die Konvergenz einer Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ durch Abschätzungen nachzuweisen, ohne explizit den Grenzwert $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ zu bilden. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn das direkte Bilden von $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ schwierig ist.

Sandwich-Kriterium

Das Sandwichkriterium kann helfen, die Konvergenz einer Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 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Dies ist vor allem dann nützlich, wenn das direkte Bilden von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.062ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4447.4 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 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Sandwichkriterium

Der Sandwichsatz

Als rekursive Folge werden Folgen bezeichnet, in der die Bildungsregel des $n$-ten Gliedes jeweils vom Vorgängerglied $(n-1)$ abhängt. Zum Berechnen eines beliebigen Gliedes ist es also immer notwendig, das vorherige Glied bereits errechnet zu haben.
Ein Beispiel für eine rekursive definierte Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ wäre z.B.:
$a_{0}=0, \ \ \ a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{2}$

Rekursive Folgen

Als rekursive Folge werden Folgen bezeichnet, in der die Bildungsregel des <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-ten Gliedes jeweils vom Vorgängerglied <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(n-1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.015ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3100.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1211.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2211.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2711.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> abhängt. Zum Berechnen eines beliebigen Gliedes ist es also immer notwendig, das vorherige Glied bereits errechnet zu haben.
Ein Beispiel für eine rekursive definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-9-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-9-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1392.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1781.3, -285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> wäre z.B.:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_{0}=0, \ \ \ a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{2}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.919ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 11014.1 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 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210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1210.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2266.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2766.1, 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Vollständige Induktion

Eine Folge heißt alternierend, wenn die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ sind, d. h. sich ihr Vorzeichen immer wieder von "plus" nach "minus" und umgekehrt ändern.

Alternierende Folgen

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>\lim _{n \rightarrow \infty} a_n&amp;= \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n} =1</p>
<p>\end{aligned}\]</p>

<p>Schätze die Folge $a_n$ nach unten ab:</p>


<p>Schätze die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_n" style="vertical-align: -0.357ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="1.355ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1036.3 598.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-52-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-52-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-52-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-52-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> nach unten ab:</p>


<p>Nutze die Bernoulli-Ungleichung: $(1+x)^{n}\geq 1+nx$</p>


<p>Nutze die Bernoulli-Ungleichung: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(1+x)^{n}\geq 1+nx" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.664ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7807.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-53-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-53-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-53-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-53-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-53-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-53-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-53-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1111.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2111.4,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2683.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3857.5,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4913.3,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5635.5,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6635.7,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7235.7,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>a_{n} &amp;=\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n} \\</p>
<p>&amp;\geq 1-n\cdot {\frac {1}{n^{2}}} \\</p>
<p>&amp;=1-{\frac {1}{n}}= k_n</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>Schätze die Folge $a_n$ nach oben ab:</p>


<p>Schätze die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_n" style="vertical-align: -0.357ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="1.355ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1036.3 598.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-55-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-55-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-55-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-55-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> nach oben ab:</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>\left(1-\frac {1}{n^{2}}\right)^{n}\leq 1 = g_n \quad \ \checkmark</p>
<p>\end{aligned}\]</p>
<p><em>Der Grenzwert von $g_n$ ist also bei $\ 1$</em></p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
\left(1-\frac {1}{n^{2}}\right)^{n}\leq 1 = g_n \quad \ \checkmark
\end{aligned}" style="vertical-align: -2.193ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.82ex" height="5.517ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1469.3 11412.6 2438.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-57-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-57-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-57-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 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data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-32"></use></g></g></g><rect width="1236.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3935,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-57-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(4704,1176.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-57-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5456,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6511.8,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7289.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8345.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-57-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(510,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-57-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(9329.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(10329.6,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10579.6,0)"><use data-c="2713" xlink:href="#MJX-57-TEX-I-2713"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p><em>Der Grenzwert von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="g_n" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.227ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 984.3 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-58-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-58-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-58-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(510,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-58-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> ist also bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\ 1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 750 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-59-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-59-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-59-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(250,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-59-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></em></p>


<p>Zeige, dass $k_n$ auch gegen den Grenzwert $1$ konvergiert:</p>


<p>Zeige, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="k_n" style="vertical-align: -0.357ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.326ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1028.3 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-60-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-60-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-60-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(554,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-60-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> auch gegen den Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-61-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-61-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert:</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>\lim _{n \rightarrow \infty} k_n&amp;= \lim _{n \rightarrow \infty} 1-\frac {1}{n} \\\\</p>
<p>&amp;= 1 - 0 \\\\</p>
<p>&amp;= 1 \quad \checkmark</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>Daraus folgt insgesamt für den Grenzwert von $a_n$:</p>


<p>Daraus folgt insgesamt für den Grenzwert von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_n" style="vertical-align: -0.357ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="1.355ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1036.3 598.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-63-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-63-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-63-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-63-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Bestimme den Grenzwert der Folge mit dem Sandwich Kriterium:</p>
<p>$$a_{n}=\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}$$</p>

<p>Bestimme den Grenzwert der Folge mit dem Sandwich Kriterium:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}" style="vertical-align: -2.148ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.077ex" height="5.517ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1489.1 7548.1 2438.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-51-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-51-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Sandwich-Kriterium mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: