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Aufgabenstellung:

Bestimme alle Lösungen der Gleichung:

Gib die Lösungen in kartesischer Darstellung an.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Es handelt sich um eine biquadratische Gleichung (4 Lösungen), nutze daher eine Substitution zum lösen.

Substituiere :

Löse die entstandene quadratische Gleichung mittels -Formel:

Berechne mittels Polarform:

Berechne Betrag und Argument (Winkel):

Schreibe auf, welche Werte sich somit für und ergeben:

Resubstituiere und berechne die Werte für . Nutze die Euler-Formel:

Mit ergibt sich:

Mit ergibt sich:

Lösung:

Du erhältst 4 Lösungen:

Vorgehen

Lineare komplexe Gleichungen (n=1) lösen

Ist die höchste Potenz (), löse direkt nach auf, falls möglich. Falls nicht tue alternativ folgendes:

  1. Ersetze jedes durch und jedes

  2. Berechne Werte für und .
    Es kann helfen den entstandenen Ausdruck nach Termen ohne "i" (Realteil) und mit (Imaginärteil) zu trennen. Anschließend kannst du jeweils eine Bedingung für den Real- und Imaginärteil aufschreiben, woraus du 2 Gleichungen erhälst.

Vorgehen

Quadratische komplexe Gleichung (n=2):

  1. Bringe die Gleichung auf die Form

  2. Nutze die -Formel:

Vorgehen

Kubische komplexe Gleichung (n=3):

  1. Rate eine (reelle) Nullstelle.
  2. Führe eine Polynomdivision mit der gefundenen Nullstelle durch.
  3. Löse das Restpolynom mittels -Formel (siehe quadratische Gleichung).

Hinweis: Wenn ein Polynom mit vorliegt, musst du ggf. mehrere Polynomdivisionen durchführen, bis eine quadratische Gleichung vorliegt.

Vorgehen

Biquadratische Gleichung (n=2,4,6...)

Biquadratische Gleichung ():

  1. Substituiere:

  2. Löse die neu entstandenen Gleichung mittels -Formel.


  3. Resubstituiere, um die 4 Lösungen für zu erhalten: