Mengen und Zahlen - Teilmenge prüfen

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Aufgabenstellung:

Prüfe:

ist Teilmenge von .

Begründe dein Ergebnis.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Teilmenge bedeutet hier, dass alle Elemente aus auch in enthalten sein müssen.

Um dies besser beurteilen zu können, solltest du die beiden Mengen zunächst vereinfachen.

Untersuche/Vereinfache zunächst die Menge :

Welche Werte für lösen die Ungleichung?

Du kannst hier nicht direkt nach auflösen. Bringe daher alle Terme auf eine Seite und verwende die "pq-Formel":

Berechne nun die Nullstellen der linken Seite (pq-Formel):

Welche -Werte löst also die Ungleichung?

Dies bedeutet, dass alle Werte zwischen den beiden Nullstellen annehmen darf.

Berücksichtige nun, dass in der Mengendefinition steht. Wie schränkt dies die eben gefundene Lösungsmenge ein?

Es kann helfen die Elemente der Menge explizit aufzuschreiben

Es werden nur die natürlichen Zahlen zwischen und berücksichtigt.

Untersuche/Vereinfache nun die Menge :

Löse die in der Menge enthaltene Ungleichung.

Aufgrund des Betrags musst du eine Fallunterscheidung machen: (Nullstellen des Betrags)

Es ergeben sich Fälle und

Untersuche zunächst den ersten Fall (Betrag negativ):

Berücksichtige noch die Fallbedingung und schreibe die Lösungsmenge auf:

Untersuche nun den zweiten Fall mit (Betrag positiv):

Berücksichtige noch die Fallbedingung und schreibe die Lösungsmenge auf:

Vereinige die beiden Fälllösungen:

Berücksichtige noch, dass in der Mengendefinition steht. Wie schränkt dies die Lösungsmenge ein?

Es kann helfen die Elemente der Menge explizit aufzuschreiben.

Es werden nur die ganzen Zahlen zwischen und berücksichtigt. Die Randwerte und sind in dem Intervall nicht enthalten.

. Vergleiche nun die vereinfachten Mengen.

ist keine Teilmenge von , da offensichtlich nicht alle (hier sogar gar keine) Element von in enthalten ist.

Vorgehen

1) Vereinfache die gegebenen Mengen so weit wie möglich und mache dir klar welche Elemente die einzelnen Mengen besitzen.

2) Vergleiche die vereinfachten Mengen und begründe:

Jedes Element der Menge ist auch in enthalten. Daher ist eine Teilmenge von .
Es gibt mindestens ein Element in welches nicht in enthalten ist. Daher kann keine Teilmenge von sein:

Formel

Natürliche Zahlen:

Ganze Zahlen:

Rationale Zahlen:

Komplexe Zahlen:

Zusammenhang der Zahlenmengen: