<p>Zeige, dass die rekursiv definierte Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert und berechne den Grenzwert $a$.</p>
<p>$$a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{1}{4} a_{n}^{2}+1$$</p>

<p>Zeige, dass die rekursiv definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-38-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-38-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-38-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{1}{4} a_{n}^{2}+1" style="vertical-align: -1.552ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.376ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 11216 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 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transform="translate(220,-686)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(8457.3,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9715.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10716,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert. Berechne anschließend ihren Grenzwert $a$</p><p>$$a_{1}=\frac{1}{2}, \quad a_{n+1}=a_{n}\left(2-a_{n}\right)$$</p>

<p>Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6516-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6516-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-6516-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6516-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-6516-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-6516-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6516-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6516-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6516-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1392.3, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6516-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6516-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-6516-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6516-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert. Berechne anschließend ihren Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6517-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6517-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{1}=\frac{1}{2}, \quad a_{n+1}=a_{n}\left(2-a_{n}\right)" style="vertical-align: -1.552ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.05ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 12398.3 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6518-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 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<p>Berechne den Grenzwert $a$ und weise nach, dass die rekursiv definierte Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert. </p><p>$$a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{3} \sqrt{a_{n}^{2}+1}$$</p>

<p>Berechne den Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6495-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6495-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und weise nach, dass die rekursiv definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6496-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6496-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 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data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-6496-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6496-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert. </p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{3} \sqrt{a_{n}^{2}+1}" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.621ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 15302.7 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6497-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 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xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3210.8, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4210.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378, 0)"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6395.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(7451.3, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use 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xlink:href="#MJX-6497-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1225.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2225.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 117.8)"><use xlink:href="#MJX-6497-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="2725.7" height="60" x="1020" y="1207.8"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Zeige, dass die rekursiv definierte Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert und berechne den Grenzwert $a$.</p>
<p>$$a_{1}=2, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{4}\left(\sqrt{a_{n}^{2}+4}-a_{n}\right)$$</p>

<p>Zeige, dass die rekursiv definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-37-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-37-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{1}=2, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{4}\left(\sqrt{a_{n}^{2}+4}-a_{n}\right)" style="vertical-align: -2.148ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.337ex" height="5.652ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1548.7 16503 2498.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-39-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-39-TEX-N-31" d="M213 578L200 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<p>Zeige, dass die rekursiv definierte Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert und berechne den Grenzwert $a$.</p>
<p>$$a_{1}=3, \quad a_{n+1}=\frac{7+3 a_{n}}{3+a_{n}}$$</p>

<p>Zeige, dass die rekursiv definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-65-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-65-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{1}=3, \quad a_{n+1}=\frac{7+3 a_{n}}{3+a_{n}}" style="vertical-align: -1.909ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.376ex" height="4.968ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1352 11216 2195.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-67-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-67-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 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<p>Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ beschränkt und monoton ist.</p>
<p>$$a_{1}=0, \ \ \ a_{n+1}=\frac{1}{2-a_{n}}$$</p>

<p>Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-84-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-84-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-84-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-84-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-84-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-84-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-84-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-84-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-84-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1425.3,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-84-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-84-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-84-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-84-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> beschränkt und monoton ist.</p>
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Rekursive Folgen