Umkehrfunktion bilden

Theorie:

Umkehrfunktion bilden

Damit die Umkehrfunktion existiert muss bijektiv sein bzw. stetig und streng monoton (steigend, fallend). Ist die Funktion nur injektiv, dann begrenze den Wertebereich nur auf Werte, die auch tatsächlich getroffen werden (dadurch wird sie automatisch in diesem Bereich bijektiv).

    • Lineare Funktionen sind immer eindeutig umkehrbar.
    • Bei quadratischen Funktionen müssen Bereiche eingeführt werden und es können mehrere Umkehrfunktionen entstehen.
Vorgehen

Umkehrfunktion bilden (rechnerisch)

  1. Untersuche in welchen Bereichen die Funktion umkehrbar ist (bijektiv).

  2. Bestimme die Umkehrfunktion , indem du die Gleichung nach umstellst.

  3. Vertausche die Variablen und um die Umkehrfunktion zu erhalten.

  4. Checke ggf. noch den Definitionsbereich von . Hierbei muss gelten: und
Vorgehen

Umkehrfunktion bilden (zeichnerisch)

  1. Trage die Funktion und die Gerade (Winkelhalbierende) in ein Koordinatensystem ein.

  2. Spiegel die Funktion an der Winkelhalbierenden, um zu erhalten.
    Lege hierfür z.B. ein Geodreieck so auf, dass seine Mittellinie auf der Spiegelachse liegt. Lese den Abstand verschiedener Funktionspunkte ab und trage sie in gleichem Abstand auf der anderen Seite der Spiegelachse auf. Hast du genügend Spiegelpunkte aufgezeichnet, kannst du diese zu einer Kurve (der Umkehrfunktion) verbinden.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Bestimme die Umkehrfunktion und deren Definitionsbereich für folgende Funktion:

Aufgabe 2

Bilde die Umkehrfunktion von:

Fertige außerdem eine Skizze von und an.

Aufgabe 3

Bilde die Umkehrfunktion von:

Fertige außerdem eine Skizze von und an.

Aufgabe 4

Untersuche die Existenz der Umkehrfunktion von und bilde diese.

Fertige außerdem eine Skizze von und an.

Aufgabe 5

Bestimme die Umkehrfunktion und deren Definitionsbereich für folgende Funktion:

ü

Aufgabe 6

Bestimme die Umkehrfunktion und gib ihren Definitions- und Wertebereich an:

ü

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