Potenzreihen | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie

Potenzreihen und Konvergenzradius

Eine Potenzreihe ist eine spezifische Art von Reihen der Form:

Definition

Potenzreihe

ist dabei eine beliebige Folge reeller oder komplexer Zahlen. nennt man den Entwicklungspunkt der Potenzreihe.

Konvergenzradius

Die Konvergenz einer Potenzreihe bestimmt man über die Berechnung des Konvergenzradius. Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt bezeichnet man die größte Zahl , sodass die Konvergenzreihe für alle für die gilt konvergiert.

Vorgehen

Konvergenzradius bestimmen

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe mit einem geeigneten Kriterium. Dabei gilt: Das Wurzelkriterium funktioniert immer. Das Quotientenkriterium allerdings nur, wenn tatsächlich ein Grenzwert exisitert.
- Wurzelkriterium (für Potenzreihen):
  
  Hier muss berücksichtigt werden, dass man und definiert.
- Quotientenkriterium:
Interpretiere dein Ergebnis:
- Für konvergiert die Potenzreihe.
- Für divergiert die Potenzreihe.
- Für ist keine allgemeine Aussage möglich.

Für die Untersuchung des letzten Falls, kannst du ggf. noch die Randpunkte einzeln untersuchen (siehe Kapitel Reihen untersuchen).