Eine unendliche Reihe der Form $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ wird als Potenzreihe bezeichnet.

Potenzreihen

Eine unendliche Reihe der Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}" style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.254ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 7626.1 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-38-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 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id="MJX-38-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-38-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 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313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-38-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1056, 477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-38-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1056, -285.4) scale(0.707)" 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Potenzreihen und Konvergenzradius

<p>Eine Potenzreihe $P(x)$ ist eine spezifische Art von Reihen der Form:</p>


<p>Eine Potenzreihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="P(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.753ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2101 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1702-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-1702-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1702-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1702-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-1702-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1702-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1702-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1712,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1702-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist eine spezifische Art von Reihen der Form:</p>


<div id=5f2966f4f1398cd2cbf87e6c class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Potenzreihe</h2>
<p>\[P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\]</p>
</div></div>


<div id=5f2966f4f1398cd2cbf87e6c class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Potenzreihe</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}" style="vertical-align: -2.819ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.008ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 10169.7 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1703-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 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</div></div>


<p>$(a_n)$ ist dabei eine beliebige Folge reeller oder komplexer Zahlen. $x_0$ nennt man den Entwicklungspunkt der Potenzreihe.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.105ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1814.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1704-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1704-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1704-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1704-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1704-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1704-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1704-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1704-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist dabei eine beliebige Folge reeller oder komplexer Zahlen. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_0" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 607.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1705-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1705-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1705-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1705-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> nennt man den Entwicklungspunkt der Potenzreihe.</p>


<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Konvergenzradius</span></p>
<p>Die Konvergenz einer Potenzreihe bestimmt man über die Berechnung des Konvergenzradius. Als Konvergenzradius einer Potenzreihe $P(x)$ um den Entwicklungspunkt $x_{0}$ bezeichnet man die größte Zahl $R$, sodass die Konvergenzreihe für alle $x$ für die gilt $\left|x-x_{0}\right|&lt;R$ konvergiert.</p>


<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;">Konvergenzradius</span></p>
<p>Die Konvergenz einer Potenzreihe bestimmt man über die Berechnung des Konvergenzradius. Als Konvergenzradius einer Potenzreihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="P(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.753ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2101 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1706-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-1706-TEX-N-28" d="M94 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xlink:href="#MJX-1708-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, sodass die Konvergenzreihe für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1709-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1709-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für die gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left|x-x_{0}\right|<R" style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.334ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 5451.6 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1710-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-1710-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 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data-mml-node="mo" transform="translate(3636.8,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-1710-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4692.6,0)"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-1710-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert.</p>


<div id=5f20303ef94690a4a3550b77 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Konvergenzradius bestimmen</h2>
<ol>
<li>Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ mit einem geeigneten Kriterium. Dabei gilt: Das Wurzelkriterium funktioniert immer. Das Quotientenkriterium allerdings nur, wenn tatsächlich ein Grenzwert exisitert.
<ul>
<li><strong>Wurzelkriterium </strong>(für Potenzreihen): <br />\begin{align*} R=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\end{align*}<br /><em>Hier muss berücksichtigt werden, dass man $\frac{1}{0}:=+\infty$ und $\frac{1}{\infty}:=0$ definiert.<br /><br /></em></li>
<li><strong>Quotientenkriterium</strong>:<br />\begin{align*}R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\end{align*}<br /><br /></li>
</ul>
</li>
<li>Interpretiere dein Ergebnis:<br />
<ul>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|&amp;lt;R$ konvergiert die Potenzreihe.</p>
</li>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|&amp;gt;R$ divergiert die Potenzreihe.</p>
</li>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|=R$ ist keine allgemeine Aussage möglich.</p>
</li>
</ul>
</li>
</ol>
<p style="padding-left: 40px;"><em>Für die Untersuchung des letzten Falls, kannst du ggf. noch die Randpunkte $x=x_{0} \pm R$ einzeln untersuchen (siehe Kapitel Reihen untersuchen).</em></p>
</div></div>
