Die Differenzierbarkeit einer Funktion in allen Punkten ist die Voraussetzung für die Anwendung der allgemeinen Ableitungsregeln. Der Differenzierbarkeitsbereich einer Funktion $f$ besagt also in welchem Bereich eine Ableitungsfunktion $f'$ existiert.

<p>Untersuche, ob $f$ an der Stelle $x=1$ differenzierbar ist mit $f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$:</p>
<p>\begin{align*} f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac{\ln (x)}{x-1}} &amp; {\text { für } x \neq 1} \\ {1} &amp; {\text { für } x=1}\end{array}\right. \end{align*}</p>

<p>Untersuche, ob <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1603-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1603-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> an der Stelle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x=1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1604-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1604-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1604-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1604-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1604-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1604-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> differenzierbar ist mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.443ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6383.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1605-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1605-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(827.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1383.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1772.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2272.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2717.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3717.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4384, 0)"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5661.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1605-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*} f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac{\ln (x)}{x-1}} & {\text { für } x \neq 1} \\ {1} & {\text { für } x=1}\end{array}\right. \end{align*}" style="vertical-align: -2.827ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.401ex" height="6.785ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1749.5 11227.4 2999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1606-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-S4-7B" d="M661 -1243L655 -1249H622L604 -1240Q503 -1190 434 -1107T348 -909Q346 -897 346 -499L345 -98L343 -82Q335 3 287 87T157 223Q146 232 145 236Q144 240 144 250Q144 265 145 268T157 278Q242 333 288 417T343 583L345 600L346 1001Q346 1398 348 1410Q379 1622 600 1739L622 1750H655L661 1744V1727V1721Q661 1712 661 1710T657 1705T648 1700T630 1690T602 1668Q589 1659 574 1643T531 1593T484 1508T459 1398Q458 1389 458 1001Q458 614 457 605Q441 435 301 316Q254 277 202 251L250 222Q260 216 301 185Q443 66 457 -104Q458 -113 458 -501Q458 -888 459 -897Q463 -944 478 -988T509 -1060T548 -1114T580 -1149T602 -1167Q620 -1183 634 -1192T653 -1202T659 -1207T661 -1220V-1226V-1243Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-1606-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-1606-TEX-N-66" d="M273 0Q255 3 146 3Q43 3 34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q99 52 103 60Q104 62 104 224V385H33V431H104V497L105 564L107 574Q126 639 171 668T266 704Q267 704 275 704T289 705Q330 702 351 679T372 627Q372 604 358 590T321 576T284 590T270 627Q270 647 288 667H284Q280 668 273 668Q245 668 223 647T189 592Q183 572 182 497V431H293V385H185V225Q185 63 186 61T189 57T194 54T199 51T206 49T213 48T222 47T231 47T241 46T251 46H282V0H273Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-72" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T98 122T98 161T98 203Q98 234 98 269T98 328L97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 60 434T96 436Q112 437 131 438T160 441T171 442H174V373Q213 441 271 441H277Q322 441 343 419T364 373Q364 352 351 337T313 322Q288 322 276 338T263 372Q263 381 265 388T270 400T273 405Q271 407 250 401Q234 393 226 386Q179 341 179 207V154Q179 141 179 127T179 101T180 81T180 66V61Q181 59 183 57T188 54T193 51T200 49T207 48T216 47T225 47T235 46T245 46H276V0H267Q249 3 140 3Q37 3 28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-1606-TEX-N-2260" d="M166 -215T159 -215T147 -212T141 -204T139 -197Q139 -190 144 -183L306 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H327L406 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H426Q597 702 602 707Q605 716 618 716Q625 716 630 712T636 703T638 696Q638 692 471 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L451 327L371 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H351Q175 -210 170 -212Q166 -215 159 -215Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3233.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-S4-7B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(806, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 627.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 516.8) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(338.1, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1350, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-31"></use></g></g><rect width="1744.3" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2984.3, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-A0"></use><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-66" transform="translate(250, 0)"></use><text data-variant="normal" transform="translate(556, 0) matrix(1 0 0 -1 0 0)" font-size="884px" font-family="serif">ü</text><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-72" transform="translate(1156, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-A0" transform="translate(1548, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1798, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2647.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-2260"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3703.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-31"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -925)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(742.2, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2984.3, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-A0"></use><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-66" transform="translate(250, 0)"></use><text data-variant="normal" transform="translate(556, 0) matrix(1 0 0 -1 0 0)" font-size="884px" font-family="serif">ü</text><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-72" transform="translate(1156, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-A0" transform="translate(1548, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1798, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2647.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3703.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1606-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7993.9, 0)"></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuche die Funktion auf Differenzierbarkeit:</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f(x)= \begin{cases} {\displaystyle x^{2}+1} \ \quad \quad \quad \quad \text { für } x&amp;lt;1 \\</p>
<p>-x(x-3) \quad \quad \ \ \text { für } x \geq 1</p>
<p>\end{cases}\end{align*}\]</p>

<p>Untersuche die Funktion auf Differenzierbarkeit:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f(x)= \begin{cases} {\displaystyle x^{2}+1} \ \quad \quad \quad \quad \text { für } x<1 \\
-x(x-3) \quad \quad \ \ \text { für } x \geq 1
\end{cases}\end{align*}" style="vertical-align: -2.148ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.317ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 15168.1 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6-TEX-S3-7B" d="M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 254L188 251L205 242Q290 200 345 138T416 3Q421 -18 421 -48T423 -349Q423 -397 423 -472Q424 -677 428 -694Q429 -697 429 -699Q434 -722 443 -743T465 -782T491 -816T519 -845T548 -868T574 -886T595 -899T610 -908L616 -910Q618 -912 618 -928V-943Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-6-TEX-N-66" d="M273 0Q255 3 146 3Q43 3 34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q99 52 103 60Q104 62 104 224V385H33V431H104V497L105 564L107 574Q126 639 171 668T266 704Q267 704 275 704T289 705Q330 702 351 679T372 627Q372 604 358 590T321 576T284 590T270 627Q270 647 288 667H284Q280 668 273 668Q245 668 223 647T189 592Q183 572 182 497V431H293V385H185V225Q185 63 186 61T189 57T194 54T199 51T206 49T213 48T222 47T231 47T241 46T251 46H282V0H273Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-72" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T98 122T98 161T98 203Q98 234 98 269T98 328L97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 60 434T96 436Q112 437 131 438T160 441T171 442H174V373Q213 441 271 441H277Q322 441 343 419T364 373Q364 352 351 337T313 322Q288 322 276 338T263 372Q263 381 265 388T270 400T273 405Q271 407 250 401Q234 393 226 386Q179 341 179 207V154Q179 141 179 127T179 101T180 81T180 66V61Q181 59 183 57T188 54T193 51T200 49T207 48T216 47T225 47T235 46T245 46H276V0H267Q249 3 140 3Q37 3 28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-6-TEX-S3-7B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(750,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,533)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1230.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2231,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(2731,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2981,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3981,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4981,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(5981,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(6981,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0"></use><use data-c="66" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-66" transform="translate(250,0)"></use><text data-variant="normal" transform="translate(556,0) scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="serif">ü</text><use data-c="72" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-72" transform="translate(1156,0)"></use><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0" transform="translate(1548,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8779,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9628.8,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10684.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-667)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1350,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1739,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2533.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3533.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4033.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4422.4,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(5422.4,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(6422.4,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(6672.4,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(6922.4,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0"></use><use data-c="66" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-66" transform="translate(250,0)"></use><text data-variant="normal" transform="translate(556,0) scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="serif">ü</text><use data-c="72" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-72" transform="translate(1156,0)"></use><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0" transform="translate(1548,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8720.4,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9570.2,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10626,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-31"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11934.6,0) translate(0 250)"></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

Differenzierbarkeit

Die Differenzierbarkeit einer Funktion in allen Punkten ist die Voraussetzung für die Anwendung der allgemeinen Ableitungsregeln. Der Differenzierbarkeitsbereich einer Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besagt also in welchem Bereich eine Ableitungsfunktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f'" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.917ex" height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 847.5 964" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-29-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(603, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-2032"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> existiert.

<p>Eine Funktion $f(x)$ ist an der Stelle $a$ differenzierbar wenn der Differenzenquotient dieser Stelle existiert. Ist die Differenzierbarkeit gezeigt in allen Punkten, so existiert die Ableitungsfunktion und die üblichen Regeln zum Ableiten dürfen angewendet werden.</p>


<p>Eine Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-947-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-947-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-947-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-947-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-947-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-947-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-947-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-947-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist an der Stelle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-948-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-948-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> differenzierbar wenn der Differenzenquotient dieser Stelle existiert. Ist die Differenzierbarkeit gezeigt in allen Punkten, so existiert die Ableitungsfunktion und die üblichen Regeln zum Ableiten dürfen angewendet werden.</p>


<p><strong>Differenzenquotient :</strong></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p>Dies ist gleichbedeutend mit folgendem Ausdruck:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a+h\right)-f\left( a \right)}{h}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<div id=5f08546810eff8222fd76f17 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Differenzierbarkeit prüfen</h2>
<p>Die elementaren Funktionen sind in der Regel differenzierbar. Zu untersuchen sind folgende Stellen:</p>
<ul>
<li><strong>Beträge</strong>: Beträge verursachen i.d.R. einen "Knick" in Funktionen an den Stellen wo der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt. Dort sind sie meistens nicht differenzierbar.<br /><br /></li>
<li><strong>Übergangsstellen</strong>: Zusammengesetzte Funktionen sind in den Übergangsstellen nur differenzierbar, wenn sie gleichmäßig in einander übergehen (selbe Steigung an Übergangsstelle).</li>
</ul>
</div></div>
