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Aufgabenstellung:

Für ein Grundstück sind inklusive Maklercourtage zu zahlen. Der Betrag von soll durch ein jährlich mit zu verzinsendes und mit zuzüglich der durch die bisherige Tilgung ersparten Zinsen zu tilgendes Darlehen finanziert werden.

  1. Wie hoch ist der Grundstückspreis, wie hoch ist die Courtage?
  2. Wie hoch ist die Restschuld des Darlehens nach Jahren, wenn Zins und Tilgung jährlich nachträglich in einer Jahresrate zu erbringen sind?
  3. Wie hoch ist die Restschuld des Darlehens nach Jahren, wenn Zins und Tilgung quartalsweise nachträglich in einer Quartalsrate zu erbringen sind?
  4. Welche dieser beiden Darlehensbedingungen sind für den Darlehensnehmer effektiver?

Lösungsweg:

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a) Grundstückspreis und Courtage

Grundstückspreis:

Courtage:

b) Restschuld des Darlehens nach Jahren, wenn Zins und Tilgung jährlich nachträglich in einer Jahresrate zu erbringen sind

Die gleichbleibende Jahresrate heißt Annuität. Sie wird zunächst für die Zinszahlung verwendet, mit dem verbleibenden Teil wird die Darlehensschuld gemindert (getilgt).

Man kann alle Zahlungen und die Entwicklung der Schuld in einem Zahlungsplan (Zins- und Tilgungsplan) erfassen. Ein solcher würde dem Kreditnehmer auch von der Bank ausgehändigt.

ä

Man kann die Restschuld auch mit den Formeln der Rentenrechnung ermitteln. Bei den regelmäßigen Zahlungen des Schuldners in gleicher Höhe handelt es sich um eine nachschüssige Rente. Die Verzinsung beträgt , denn die Zahlungen bedienen und mindern ja eine zu verzinste Schuld.

Ihr Endwert lautet also

Der Wert des ausgereichten Darlehensbetrages beträgt dagegen nach Jahren

Restschuld nach Jahren Wert der Leistungen des Darlehensgebers - Wert der Leistungen des Darlehensnehmers

c) Restschuld des Darlehens nach Jahren, wenn Zins und Tilgung quartalsweise nachträglich in einer Quartalsrate zu erbringen sind

Die Bedingungen kommen realen Darlehensbedingungen näher, in der Praxis wird meist eine feste Monatsrate vereinbart.

Quartalsrate:

Da die Aufstellung des Zahlungsplans jetzt aufwändiger ist, berechnen wir die Restschuld zunächst rechnerisch. Tatsächliche Zinsperiode ist nun das Quartal mit einer Verzinsung von pro Quartal.

Restschuld nach Quartalen Wert des Darlehens nach Quartalen Wert der Leistungen des Schuldners nach Quartalen (Endwert einer nachschüssigen Rente).

Die gleiche Restschuld ermittelt man mit dem Zins- und Tilgungsplan:

d) Welche dieser beiden Darlehensbedingungen sind für den Darlehensnehmer effektiver?

Trotz der höheren Restschuld ist günstiger. Der unterjährig eingesparte Aufwand kann vom Darlehensnehmer bis zum Jahresende verzinst angelegt werden.

Rechnerisch kann dies durch Ermittlung des effektiven Jahreszinses dargestellt werden. Bei ist dieser gleich dem Nominalzins von . Bei ergibt sich hingegen für das Jahr ein Aufzinsungsfaktor von , so dass der effektive Jahreszins beträgt.
Bei einer Monatsrate von würde sich für das Jahr ein effektiver Aufzinsungsfaktor von und damit ein effektiver Jahreszins von ergeben.

Die Restschuld nach Jahren bei einer Monatsrate von ergibt sich zu Wert des Darlehens nach Monaten - Wert der Leistungen des Schuldners nach Monaten (Endwert einer nachschüssigen Rente).

Lösung:

  1. ü
  4. siehe Musterlösung