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Aufgabenstellung:

Auf ein unverzinstes Konto werden von einem gewissen Jahr an jährlich eingezahlt, außerdem werden jährlich des Vorjahresguthabens entnommen, so dass das Guthaben am Ende des ersten Jahres , am Ende des zweiten Jahres , am Ende des dritten Jahres beträgt usw.

  1. Stellen Sie die Entwicklung des Guthabens als Reihe dar.
  2. Welches Guthaben wird asymptotisch erreicht, wenn dieser Prozess unendlich lange weitergeführt wird?

Lösungsweg:

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a) Entwicklung des Guthabens

Guthaben am Ende des -ten Jahres in :

(Dies entspricht dem Endwert einer nachschüssigen Rente mit einer Verzinsung von )

b) Guthaben welches asymptotisch erreicht wird, wenn dieser Prozess unendlich lange weitergeführt wird

Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit , die wegen konvergiert.

Asymptotisch wird also ein Guthaben von erreicht. (Das ist klar, denn das ist das Guthaben, aus dem bei einer jährlichen Entnahme von immer gerade der Einzahlungsbetrag von entnommen wird, so dass es unverändert bleibt.)

Lösung: