Partielle Ableitung

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Satz von Schwarz

Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:

Definitheit einer Matrix 

Sei ein beliebiger n-zeiliger Spaltenvektor mit . Eine quadratische Matrix heißt:

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

Der Satz von Schwarz lässt sich auf beliebig viele Variablen ausweiten. 

• Willst du lediglich untersuchen ob eine Matrix positiv oder negativ Definit ist, so nutze das Hauptminorantenkriterium.
• Ist zusätzlich interessant ob die Matrix semidefinit/undefinit ist, so nutze die Eigenwertmethode.

Eigenwerten, Räume und Vektoren

1. Bestimme das charakteristische Polynom von über . Ziehe dazu jeweils ein von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.
2. Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
   
3. Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit
   Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.
4. Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.

Partiell ableiten

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.

1. Verfahren: Einsetzen der Nebenbedingung

1. Stelle alle Nebenbedingungen so um, dass du alle vorkommenden Variablen durch eine Variable ausdrücken kannst. In Abhängigkeit welcher der Variablen du die anderen Veränderlichen ausdrückst, ist dabei egal.
2. Setze diese Variablen nun in deine Zielfunktion ein, sodass die Zielfunktion nur noch von einer Veränderlichen abhängt
3. Finde jetzt die Extremstellen der Zielfunktion mit den eingesetzten Variablen und bestimme - falls gefragt - deren Art.
4. Um die Extremwerte der ersetzten Variablen zu finden musst du jetzt noch deine gefundenen Extremwerte in die gegebenen Nebenbedingungen einsetzen.

Hinweis:

Dieses Verfahren kannst du nur anwenden, wenn sich die Nebenbedingungen eindeutig umstellen lassen. Eine Nebenbedingung, wie beispielsweise kann nicht eindeutig nach umgestellt werden, da durch das Ziehen der Wurzel eine negative und eine positive Lösung entsteht. Auch Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen lassen sich also nicht mit diesem Verfahren lösen.

2. Verfahren: Lagrange Optimierungsverfahren

1. Stelle zunächst alle gegebenen Nebenbedingungen nach um, sodass sie die Form haben.
   
   
2. Multipliziere alle Nebenbedingungen jeweils mit einem Parameter und addiere diese zu deiner Zielfunktion . Das ergibt die sogenannte Hilfsfunktion (Lagrange-Funktion).
   In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht die Lagrange-Funktion so aus:
   
   
   
3. Im nächsten Schritt leitest du die Hilfsfunktion partiell nach jeder vorkommenden Variable, also nach und ab.
   
   
4. Wenn du nun all diese partiellen Ableitungen gleich setzt, ergibt sich ein Gleichungssystem, bestehend aus allen partiellen Ableitungen. Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert dir die gesuchten Extremstellen. 
   
   
5. Um nun die Art der jeweiligen Extremstelle anzugeben, stellst du die geränderte Matrix der Lagrange-Funktion auf. Die geränderte Matrix ist die Hesse-Matrix, allerdings mit als erster Variable. 
   In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht diese Matrix grundsätzlich so aus:
   
   Unter Verwendung von und des Satzes von Schwarz solltest du auf folgende Matrix kommen: 
   
   Hinweis: Falls es nur zwei Variablen und eine Nebenbedingung gibt, genügt es, die normale Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion zu betrachten.
   
   
6. Wenn du nun die Art einer Extremstelle bestimmen willst, betrachtest du die Hauptminoren , für der geränderten Matrix an deiner Extremstelle:
   
   • negativ und weitere Hauptminoren alternieren: Minimum (positive Definitheit).
   • positiv und weitere Hauptminoren alternieren: Maximum (negative Definitheit).

Mehrdimensionale Extremstellen

1. Bestimme den Gradienten von der Funktion .
   
   
2. Setze jede Zeile des Gradienten gleich und löse das entstandene Gleichungssystem. Die Lösungen liefern dir die kritischen Punkte.
   
   
3. Berechne die Hesse-Matrix von .
   
   
4. Setze deine kritischen Punkte in ein und bestimme jeweils die Definitheit dieser Matrix:
   • positiv definit: Minimum
   • negativ definit: Maximum
   • indefinit: Sattelpunkt
   • positiv semidefinit: Minimum oder Sattelpunkt
   • negativ semidefinit: Maximum oder Sattelpunkt

Wenn noch nach der Unterscheidung von lokalen und globalen Extrema gefragt ist, dann beachte:

• Falls die berechnete Hesse-Matrix schon vor dem Einsetzen der Werte nicht mehr von den Veränderlichen abhängt, dann ist der entsprechende kritische Punkt ein globales Maximum ( negativ definit) bzw. ein globales Minimum ( positiv definit).
• Ansonsten musst du noch die Randpunkte deiner gegebenen Definitionsmenge untersuchen. Das globale Minimum bzw. Maximum entspricht dann einfach den kleinsten bzw. größten Funktionswert aus lokalen Extremstellen und Randpunkten.

Eigenwertmethode (Definitheit)

1. Berechne alle Eigenwerte der vorliegenden symmetrischen Matrix.
   
   
2. Treffe eine Aussage über die Definitheit durch Untersuchung der Vorzeichen der Eigenwerte. Dabei gilt:
   
   

   positiv definit	Alle Eigenwerte von sind positiv
   positiv semidefinit	Alle Eigenwerte von sind nicht negativ
   negativ definit	Alle Eigenwerte von sind negativ
   negativ semidefinit	Alle Eigenwerte von sind nicht positiv
   indefinit	Es gibt sowohl positive als auch negative Eigenwerte