4 / 6

Aufgabenstellung:

Bestimme die kritischen Punkte der folgenden Funktion

unter der Nebenbedingung

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Die Nebenbedingung kann eindeutig nach aufgelöst werden, allerdings produziert das Einsetzen einen äußerst unschönen Ausdruck.

Verwende Methode von Lagrange:

Stelle die Hilfsfunktion auf:

Stelle die Nebenbedingung nach Null um, multipliziere sie mit und addiere sie zur Funktion:

Bestimme die Extremstellen von

Berechne die partiellen Ableitungen und den Gradienten:

Löse das Gleichungssystem:

Aus der ersten Zeile folgt für :

Fallunterscheidung:

Fall

Fall

Untersuche Fall , mit dem Gleichungssystem:

Setze dies in die zweite Gleichung ein:

Daraus ergibt sich die erste kritische Stelle:

Untersuche Fall , mit dem Gleichungssystem:

Setze in Gleichung Zwei ein:

Daraus folgt:

Mit ergibt sich mit Gleichung :

Mit der Bedingung folgen die Extremstellen:

Übrig bleibt die Bedingung:

Verwende die dritte Gleichung. Multipliziere sie mit und ziehe sie von der Bedingung ab:

Rate eine Nullstelle:

ist eine Nullstelle dieser Gleichung.

Führe eine Polynomdivision durch um weitere zu erhalten:

Mit der abc-Formel ergibt sich für die Nullstellen:

Dies ist keine Lösung, da die Wurzel aus nicht definiert ist. Somit gibt es keine weiteren Nullstellen außer .

Mit der Bedingung und der dritten Gleichung, ergibt sich als weitere kritische Stelle:

Allerdings gilt

Die Art der Extremstellen lässt sich hier nur grafisch bestimmen (ist aber nicht gefragt).

Lösung: