Partielle Ableitung

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Gradient

Der Gradient einer Funktion ist ein Vektor. Seine Einträge bestehen jeweils aus den ersten partiellen Ableitungen der Funktion .

Existenz von partiellen Ableitungen

Sei . Ganz allgemein sagt man, dass die partielle Ableitung nach mit an der Stelle existiert, wenn gilt:

mit ist der Einheitsvektor in - Richtung.

Satz von Schwarz

Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:

Produktregel

Wenn deine Funktion aus einem Produkt von Teilfunktionen besteht so gehe zum Ableiten wie folgt vor:

1. Identifiziere und

2. Berechne und indem du und einzeln ableitest.

3. Setze deine Ergebnisse in die Formel für die Produktregel ein:

Kettenregel

Willst du eine Funktion aus verketteten Teilfunktionen ableiten, so gehe wie folgt vor:

1. Identifiziere und .
2. Bereche und indem du und einzeln ableitest.
3. Setze deine Ergebnisse in die Formel für die Kettenregel ein:
   

Hinweis: Die Multiplikation mit nennt man auch "Nachdifferenzieren".

Partiell ableiten

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.

Gradient aufstellen

Bestimme alle partiellen Ableitungen und schreibe sie in einen Vektor.

Existenz von partiellen Ableitungen

1. Setze in deine mehrdimensionale Funktion das Folgende ein:
   
   
   
2. Bestimme den Grenzwert:
   
   
   
3. Wenn dieser Grenzwert existiert (), existiert auch die partielle Ableitung in diesem Punkt in Richtung

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

Der Gradient ist also ein Vektor, der an jedem Punkt im Raum in Richtung der steilsten Steigung zeigt.

Die elementaren (gewöhnlichen) Funktionen besitzen in der Regel eine partielle Ableitung. Deswegen werden immer nur bestimmte (kritsche) Punkte untersucht.

Der Satz von Schwarz lässt sich auf beliebig viele Variablen ausweiten. 

Ableitungsregeln im Überblick

Konstantenregel:

Faktorregel:

Potenzregel:

Summenregel:

Produktregel:

Kettenregel:

Quotientenregel: