Für alle Mengen und alle definieren wir:

obere Schranke
Sei eine Teilmenge von . Dann nennt man eine Zahl , die größer gleich jedem Element von ist, eine obere Schranke. Es ist also für alle .

Minimum
Das Minimum einer Menge ist eine Zahl mit den folgenden zwei Eigenschaften:

• .
• Für alle ist .

untere Schranke

Sei eine Teilmenge von . Dann nennt man eine Zahl , die kleiner gleich jedem Element von ist, eine untere Schranke. Es ist also für alle .

Supremum
Sei eine Teilmenge von . Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke von . Das Supremum wird charakterisiert über die beiden Eigenschaften:

• Für jedes ist .
• Keine Zahl kleiner als ist obere Schranke von : Für alle gibt es mindestens eine Zahl mit .

Eindeutigkeit des Supremums und Infimums
Eine Menge kann höchstens ein Supremum und höchstens ein Infimum besitzen.

Infimum
Sei eine Teilmenge von . Das Infimum einer Menge ist die größte untere Schranke von . Das Infimum wird charakterisiert über die beiden Eigenschaften:

• Für jedes ist .
• Keine Zahl größer als ist untere Schranke von : Für alle gibt es mindestens eine Zahl mit .

Maximum
Das Maximum einer Menge ist eine Zahl mit den folgenden zwei Eigenschaften:

• .
• Für alle ist .

nach oben unbeschränkte Menge
Eine Menge ist nach oben unbeschränkt, wenn sie keine obere Schranke besitzt, wenn also

uneigentliches Supremum
Ist eine Menge nach oben unbeschränkt, so nennen wir das uneigentliche Supremum von und schreiben

uneigentliches Infimum
Eine Menge ist nach unten unbeschränkt, wenn es für alle ein mit gibt. In diesem Fall schreibt man

Uneigentliches Supremum und Infimum der leeren Menge

Für die leere Menge gilt

Supremum, Infimum, Maximum, Minimum

1) Vereinfache die gegebene Menge so weit wie möglich und mache dir klar welche Elemente in ihr enthalten sind.

 

2) Bestimme Supremum, Infimum und ggf. Maximum und Minimum:

• Das Supremum ist die kleinste obere Schranke der Menge. D.h alle Werte der betreffenden Menge sind kleiner oder gleich des Supremums.
  Ist der Wert des gefundenen Supremums zusätzlich ein Element der Menge, so ist es gleichzeitig das Maximum.
• Das Infimum ist die größte untere Schranke der Menge. D.h alle Werte der betreffenden Menge sind größer oder gleich des Infimum.
  Ist der Wert des gefundenen Infimum zusätzlich ein Element der Menge, so ist es gleichzeitig das Minimum.

Um das Supremum oder Infimum einer Menge zu finden, kannst du folgendermaßen vorgehen:

1. Menge veranschaulichen: Überlege dir, wie die Menge aussieht. Hierzu kannst du Skizzen anfertigen oder ggf. auch Computerprogramme verwenden.

2. Hypothese über Supremum und Infimum anstellen: Ist die Menge nach oben beschränkt? Wenn ja, dann überlege dir, welche Zahl das Supremum sein kann. Wenn nein, dann besitzt die Menge kein Supremum. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte.

3. Beweise für Supremum und Infimum finden: Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Die notwendige Beweisstruktur findest du im nächsten Abschnitt.

4. Beweis ins Reine schreiben: Zum Schluss musst du den Beweis aufschreiben. Dabei kannst du dich an der im nächsten Abschnitt folgenden Beweisstruktur für Supremum und Infimum orientieren.

Tipp: Liegt die Menge als ein Intervall vor, so gilt für endliche Grenzen:

Die linke Grenze entspricht dem Infimum und die rechte dem Supremum.

Maximum und Minimum liegen nur an den Grenzen vor, wenn diese abgeschlossen sind (eckige Intervallklammer).

Jedes Maximum ist ein Supremum, aber nicht jedes Supremum ist ein Maximum.

„Jede Zahl kleiner als ist keine obere Schranke von : Für alle gibt es mindestens eine Zahl mit .“

„Für alle gibt es ein mit .“

Wieso ergibt inf Sinn? Eine Zahl ist untere Schranke der leeren Menge, wenn . Diese Allaussage ist stets wahr und damit ist jede reelle Zahl eine untere Schranke von . Als Bezeichnung für die größte all dieser unteren Schranken von kann man also verwenden. Jedoch ist keine reelle Zahl und daher auch kein Infimum im eigentlichen Sinne.

Das Adjektiv "uneigentlich" ist hier sehr wichtig. Achte darauf, dass du es immer verwendest. ist nämlich keine reelle Zahl und kann deswegen kein Supremum sein. Es verhält sich nur in mancher Hinsicht wie ein Supremum. Kurz: Auch wenn man schreibt, dann besitzt trotzdem kein Supremum!

Zahlenarten im Überblick

Natürliche Zahlen:

 

Ganze Zahlen:

 

Rationale Zahlen:

 

Rationale Zahlen:

 

Komplexe Zahlen:

 

Zusammenhang der Zahlenmengen:

Rechenregeln für das Supremum

• , falls inf ist.
• für
• , falls und nur nichtnegative Elemente enthalten.
• Es gibt eine Folge aus mit

Regeln für das Infimum

• für
• , falls und nur nichtnegative Elemente enthalten.
• Es gibt eine Folge aus mit .