Addition und Multiplikation

Transponieren

Rang

Bild

Kern und Defekt

Inverse Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Bild}(A)&amp;= \left\langle \left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right),</p>
<p>\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 \\</p>
<p>-4</p>
<p>\end{array}\right) \right\rangle \\\\</p>
<p>\text{rang(A)}&amp; = 2</p>
<p>\end{align*}$$</p>

<p>$1$. Bilde die transponierte Matrix von $A$:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bilde die transponierte Matrix von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Vertausche hierfür die Zeilen und Spalten von $A$.</p>


<p>Vertausche hierfür die Zeilen und Spalten von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-17-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-17-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>$$\begin{align*}A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{lll}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 3 \\</p>
<p>3 &amp; 4 &amp; 5 \\</p>
<p>2 &amp; 4 &amp; 6</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>


<p>$2$. Bringe $A^T$ in Zeilenstufenform (Gauß):</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bringe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A^T" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.011ex" height="1.904ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 1330.8 841.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-20-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(783,363) scale(0.707)"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> in Zeilenstufenform (Gauß):</p>


<p>$$\begin{align*}&amp; \left(\begin{array}{lll}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 3 \\</p>
<p>3 &amp; 4 &amp; 5 \\</p>
<p>2 &amp; 4 &amp; 6</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_2 - 3 \cdot Z_1}{\rightarrow} &amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 3 \\</p>
<p>0 &amp; -2 &amp; -4 \\</p>
<p>2 &amp; 4 &amp; 6</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_3 - 2 \cdot Z_1}{\rightarrow} &amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 3 \\</p>
<p>0 &amp; -2 &amp; -4 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$3$. Transponiere die Matrix zurück:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Transponiere die Matrix zurück:</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 0 &amp; 0 \\</p>
<p>2 &amp; -2 &amp; 0 \\</p>
<p>3 &amp; -4 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Zum Bild gehören alle Linearkombinationen der Nichtnullspalte der Matrix.</p>


<p>$$\begin{align*}\operatorname{Bild}(A)&amp;=\left\{s\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 \\</p>
<p>-4</p>
<p>\end{array}\right) \bigg| s, t \in \mathbb{R}\right\} \\ \\</p>
<p>&amp;= \left\langle \left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right),</p>
<p>\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 \\</p>
<p>-4</p>
<p>\end{array}\right) \right\rangle</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Der Rang entspricht der Dimension des Bildes</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\text{rang(A)}&amp;=\text{dim}(\operatorname{Bild}(A)) \\\\</p>
<p>&amp;= 2</p>
<p>\end{align*}$$</p>

<p>Ermittel das Bild der folgenden Matrix:</p>
<p>$$\begin{align*}A=\left(\begin{array}{lll}</p>
<p>1 &amp; 3 &amp; 2 \\</p>
<p>2 &amp; 4 &amp; 4 \\</p>
<p>3 &amp; 5 &amp; 6</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>
<p>Gib außerdem den Rang der Matrix an.</p>

<p>Ermittel das Bild der folgenden Matrix:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 2 \\
2 & 4 & 4 \\
3 & 5 & 6
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -3.733ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.592ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 7333.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path 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<p>Gib außerdem den Rang der Matrix an.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Bild mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Matrizenrechnung - Bild | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: