Addition und Multiplikation

Transponieren

Rang

Bild

Kern und Defekt

Inverse Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Bringe die Matrix auf Zeilenstufenform:</p>


<p>Zur einfacheren Rechnung erzeuge eine $1$ in der oberen linken Ecke. Addiere hierfür die dritte mit der ersten Zeile:</p>


<p>Zur einfacheren Rechnung erzeuge eine <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-667-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-667-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in der oberen linken Ecke. Addiere hierfür die dritte mit der ersten Zeile:</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>&amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>3 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>5 &amp; 0 &amp; 3 \\</p>
<p>-2 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>4 &amp; 4 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_1+Z_3}{\rightarrow} \ &amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>5 &amp; 0 &amp; 3 \\</p>
<p>-2 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>4 &amp; 4 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Erzeuge Nullen in der ersten Zeile durch Addieren von vielfachem der ersten Zeile:</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>&amp;\overset{Z_2 - 5 \cdot Z_1}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -10 &amp; 8 \\</p>
<p>-2 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>4 &amp; 4 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;\overset{Z_3 + 2 \cdot Z_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -10 &amp; 8 \\</p>
<p>0 &amp; 5 &amp; -1 \\</p>
<p>4 &amp; 4 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;\overset{Z_4 - 4 \cdot Z_1}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -10 &amp; 8 \\</p>
<p>0 &amp; 5 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -4 &amp; 8</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>


<p>Erzeuge Nullen in der $2$. Zeile. Zum Beispiel:</p>


<p>Erzeuge Nullen in der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-670-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-670-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Zeile. Zum Beispiel:</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\overset{\frac{1}{4} \cdot Z_4}{\rightarrow} &amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -10 &amp; 8 \\</p>
<p>0 &amp; 5 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_2 + 3 \cdot Z_3}{\rightarrow}&amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 6 \\</p>
<p>0 &amp; 5 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_2 \leftrightarrow Z_4}{\rightarrow} &amp;\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 5 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 6</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_3 + 5 \cdot Z_2}{\rightarrow} &amp;\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 9 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 6</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Erzeuge Nullen in der dritten Zeile:</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\overset{\frac{1}{9} \cdot Z_3}{\rightarrow} &amp;\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 6</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_4 - 6 \cdot Z_3}{\rightarrow} &amp;\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Die Matrix besitzt $3$ Nichtnullzeilen. Da $A$ nur $3$ Spalten hat ist der maximale mögliche Rang erreicht und $A$ hat vollen Rang.</p>
<p>$$ \Rightarrow\operatorname{Rang}(A)=3$$</p>

<p>Die Matrix besitzt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-673-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-673-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Nichtnullzeilen. Da <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-674-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-674-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> nur <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-675-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-675-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Spalten hat ist der maximale mögliche Rang erreicht und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-676-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-676-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> hat vollen Rang.</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt=" \Rightarrow\operatorname{Rang}(A)=3" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.682ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6931.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-677-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-677-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 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<p>Bestimme den Rang der $4 \times 3$-Matrix:</p>
<p>$$\begin{align*}</p>
<p>A = \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>3 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>5 &amp; 0 &amp; 3 \\</p>
<p>-2 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>4 &amp; 4 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="4 \times 3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2222.4 699" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-665-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-665-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path id="MJX-665-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-665-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJX-665-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-665-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
A = \left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
5 & 0 & 3 \\
-2 & 1 & 1 \\
4 & 4 & 4
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.112ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 8889.6 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-666-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-666-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rang mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Matrizenrechnung - Rang | Aufgabe mit Lösung

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