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Aufgabenstellung:

Untersuche die Existenz der Umkehrfunktion von und bilde diese.

Fertige außerdem eine Skizze von und an.

Lösungsweg:

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Existenz der Umkehrfunktion:

Die Normalparabel besitzt keine eindeutige Umkehrfunktion, da zu jedem Funktionswert genau zwei verschiedene Werte der Variablen getroffen werden. Dies liegt an der fehlenden Monotonie der Normalparabel!

Trenne die gegebene Funktion, durch Angabe von Definitionsbereichen in zwei monotone Funktionen auf. Es kann helfen eine Skizze anzufertigen:

Es gilt mit als streng monoton steigende und als streng monoton fallende Funktionen:

Da und in ihren Teilbereichen eindeutig sind, kann jeweils eine zugehörige Umkehrfunktion gebildet werden.

Forme jeweils (unter Beachtung des jeweiligen Definitionsbereiches) nach um:

Vertausche die Variablen und miteinander, um je zu erhalten:

Skizze:

Die Spiegelung von an der Geraden bildet die Umkehrfunktion.

Lösung:

Skizze siehe Musterlösung