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Aufgabenstellung:

Bestimme die Umkehrfunktion und gib ihren Definitions- und Wertebereich an:

ü

Lösungsweg:

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Vereinfache zuerst:

Finde die Nullstellen der beiden quadratischen Funktionen und schreibe sie in die faktorisierte Form.

Nullstellen des Zählers:

Der faktorisierte Zähler ergibt:

Nullstellen des Nenners:

Der faktorisierte Nenner ergibt:

Schreibe die umgeformte Funktion auf:

Existenz der Umkehrfunktion:

Prüfe auf Monotonie, durch bilden der ersten Ableitung:

Somit ist monoton fallend und im Definitionsbereich stetig. Also existiert eine Umkehrfunktion.

Umkehrfunktion bilden. Forme nach um:

Vertausche und um die Umkehrfunktion zu erhalten:

Definitionsbereich der Umkehrfunktion:

Allgemein gilt, der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der Wertebereich von

Allerdings hat zwei Definitionslücken mit . Diese dürfen also nicht im Wertebereich der Umkehrfunktion enthalten sein.

Finde also: mit Hilfe von , um diesen Wert vom Wertebereich auszuschließen.

Lösung: