7 / 13

Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Funktion:

  1. Zeige, dass die Umkehrfunktionen existiert.
  2. Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion: an einer Stelle .

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

a) Existenz der Umkehrfunktion:

Überprüfe die Monotonie der Funktion um Rückschlüsse auf die Existenz der Umkehrfunktion zu ziehen:

Betrachte die Ableitung von :

Benutze

ist also streng monoton steigend.

Überprüfe Stetigkeit:

Benutze die Identitäten:

Dieser Ausdruck ist auf ganz definiert und hat keine Polstellen. Also ist stetig.

Abschließende Beurteilung:

Weil stetig und streng monoton ist, existiert die Umkehrfunktion .

Für den Definitionsbereich beachte, dass abbildet und somit von abbildet .

b) Ableitung der Umkehrfunktion:

Forme nach um:

Verwende nun den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion von oben:

Füge wieder ein und eliminiere den Bruch:

Setze die Funktion selbst ein:

Lösung:

  1. Weil stetig und streng monoton ist, existiert die Umkehrfunktion