4 / 11

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung:

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Schaue dir die Ungleichung genauer an. Welcher Wert für kann sofort ausgeschlossen werden?

Es gilt , da nicht durch geteilt werden darf.

Mache eine Fallunterscheidung für und .

Fall 1: :

Für diesen Fall gilt . Du kannst also mit diesem Ausdruck multipliziert ohne das Relationszeichen umzudrehen.

Nutze eine binomische Formel:

Der gefundenen Ausdruck gilt genau dann, wenn ist. Schreibe unter Berücksichtige der Fallbedingung auf:

-

Fall 2:

Für diesen Fall gilt . Achte also beim multiplizieren darauf das Relationszeichen umzudrehen.

Diese Ungleichung hat keine Lösung:

-

Fasse die Teilmengen zu einer final Lösungsmenge zusammen:

Lösung:

Vorgehen

Lösungsmengen bestimmen

1) Bestimme/Untersuche den Definitionsbereich des angegebenen Ausdrucks. Achte insbesondere auf Wurzeln und/oder Variablen die im Nenner stehen.

 

2) Löse die gegebene Gleichung/Ungleichung, unter Berücksichtigung des ermittelten Definitionsbereiches. Achte insbesondere darauf, ob Fälle unterschieden werden müssen (z.B. bei Beträgen).

Falls mehrere einzelne Lösungsmengen entstehen (Fallunterscheidungen), so vereine diese am Ende zu einer Gesamtlösungsmenge.

Vorgehen

Betrag auflösen

Zum Auflösen eines Betrages, führe eine Fallunterscheidung durch. Unterscheide hierfür, wann der Ausdruck im Betrag positiv und wann er negativ wird (Grenze sind Nullstellen des Betrages):

  1. Berechne die Nullstellen des Ausdrucks im Betrag.
  2. Die Bereiche ober-und unterhalb der Nullstellen, bilden die zu betrachtenden Fälle.
  3. Löse deinen Ausdruck für die einzelnen Fälle. Der Betrag kann weggelassen werden, wenn der Ausdruck im inneren positiv ist. Wenn er negativ ist wird der Betrag ersetzt durch eine Klammer mit einem Minuszeichen davor.

Hinweis

Beim Umformen bzw. Lösen von Ungleichungen dreht sich bei bestimmten Operationen das Relationszeichen um. Also Vorsicht bei:

  • Multiplizieren/dividieren mit negativen Zahlen: Dabei dreht sich das Relationszeichen um.

  • Potenzieren mit negativer Zahl: Dies ist gleichbedeutend mit dem Kehrwert des Ausdruckes. Deswegen dreht sich das Relationszeichen um, wenn beide Seiten positiv sind.

  • Potenzieren mit geraden Zahl: Z.B. beim Quadrieren dreht sich das Relationszeichen um, wenn 1.) beide Seiten negativ sind oder 2.) eine Seite negativ ist und im Betrag größer als die andere Seite.

  • Wurzelziehen: Dabei ergeben sich immer zwei Fälle: eine positive und eine negative Lösung. Bei der negativen wird das Relationszeichen umgedreht.

  • Logarithmus: Beim Anwenden des Logarithmus ändert sich das Relationszeichen nur, wenn die Basis vom Logarithmus kleiner als ist.

Formel

Betrag

Ein Ausdruck mit Betragsstrichen ist immer positiv. Es gilt: