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Aufgabenstellung:

Ein Darlehen von soll p.a. mit verzinst und mit zuzüglich der durch die bisherige Tilgung ersparten Zinsen getilgt werden. Zins und Tilgung sind monatlich nachträglich in einer Monatsrate zu erbringen, dabei ist innerhalb des Jahres die einfache Zinsrechnung anzuwenden.

  1. Wie hoch ist die Restschuld nach Monaten?
  2. Wie hoch ist die Restschuld nach Monaten?
  3. Wie hoch wäre die Restschuld nach einem Jahr, wenn Zins und Tilgung jährlich nachträglich in einer Jahresrate zu erbringen wären? Ist diese Zahlungsvariante für den Darlehensnehmer günstiger?

Lösungsweg:

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Ein Darlehen, bei dem Zinsen und Tilgung in gleichbleibenden Raten zu erbringen sind, heißt Annuitätendarlehen, die (Jahres-)Rate heißt Annuität. Sie wird zunächst für die Zinszahlung verwendet, mit dem verbleibenden Teil wird die Darlehensschuld gemindert (getilgt). Hier handelt es sich um gleichbleibende Monatsraten.

a) Restschuld nach Monaten

Die jährlich zu erbringende Leistung beträgt . Da hier monatlich gezahlt und die einfache Zinsrechnung angewendet werden soll, sind monatlich davon, also zu zahlen.

Man kann alle Zahlungen und die Entwicklung der Schuld in einem Zahlungsplan (Zins- und Tilgungsplan) erfassen. Ein solcher würde dem Kreditnehmer auch von der Bank ausgehändigt.

Die Restschuld lässt sich auch mit den Formeln der Rentenrechnung ermitteln. Bei den regelmäßigen Zahlungen des Schuldners in gleicher Höhe handelt es sich um eine nachschüssige Rente. Die Verzinsung beträgt p.a., denn die Zahlungen bedienen und mindern ja eine zu p.a. verzinste Schuld. Tatsächliche Zinsperiode ist jedoch der Monat mit einer Verzinsung von pro Monat.

Der Endwert der nachschüssigen Rente beträgt nach Monaten:

Der Wert des ausgereichten Darlehensbetrages beträgt dagegen nach Monaten

Restschuld nach Monaten Wert der Leistungen des Darlehensgebers Wert der Leistungen des Darlehensnehmers

b) Restschuld nach Monaten

Analog ergibt sich die Restschuld nach Monaten Wert des Darlehens nach Monaten - Wert der Leistungen des Schuldners nach Monaten 

Das gleiche Ergebnis erhält man mithilfe des Zahlungsplanes:

c) Höhe der Restschuld nach einem Jahr, wenn Zins und Tilgung jährlich nachträglich in einer Jahresrate zu erbringen wären. Ist diese Zahlungsvariante für den Darlehensnehmer günstiger?

Hier ist nur eine Jahresrate zu berücksichtigen, es ergibt sich

ä

Restschuld nach Jahr = Wert des Darlehens nach - Wert der Leistung des Schuldners (nach Jahr erbracht)

Trotz der höheren Restschuld ist günstiger. Der unterjährig eingesparte Aufwand kann vom Darlehensnehmer bis zum Jahresende verzinst angelegt werden.

Rechnerisch kann dies durch Ermittlung des effektiven Jahreszinses dargestellt werden. Bei ist dieser gleich dem Nominalzins von . Bei ergibt sich hingegen für das Jahr ein Aufzinsungsfaktor von , so dass der effektive Jahreszins nach Preisangabenverordnung beträgt.

Lösung:

  3. Begründung: siehe Musterlösung