Grundlagen

Röntgenstrahlung

Alpha, Beta, Gamma Zerfälle

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Kernspaltung

<ol>
<li>\[ { }_{1}^{3} \mathrm{H}+{ }_{1}^{2} \mathrm{H} \quad \longrightarrow \quad { }_{2}^{4} \mathrm{He}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n}+17,6 \mathrm{MeV} \)</li>
<li>\[<br />2,3 \cdot 10^{8} \mathrm{kWh}<br />\]</li>
<li>\[<br />m=2,17 \cdot 10^{9} \mathrm{~kg}<br />\]</li>
<li>\[<br />W=4,6 \cdot 10^{-14} \mathrm{~J}, \quad v=5,2 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}<br />,\quad T\approx 5,0 \cdot 10^{9} \mathrm{~K}<br />\]</li>
<li>\[<br />m \approx 26000 \mathrm{t}<br />\]</li>
<li>siehe Lösungsweg</li>
</ol>

<p>\[ { }_{1}^{3} \mathrm{H}+{ }_{1}^{2} \mathrm{H} \quad \longrightarrow \quad { }_{2}^{4} \mathrm{He}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n}+17,6 \mathrm{MeV} \]</p>


<p>2. Energie bei Fusion von \( 1 \mathrm{~kg} \) Deuterium</p>


<p>2. Energie bei Fusion von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 1 \mathrm{~kg} " style="vertical-align: -0.466ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.023ex" height="2.036ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1778 900" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-55-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-55-TEX-N-6B" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T97 124T98 167T98 217T98 272T98 329Q98 366 98 407T98 482T98 542T97 586T97 603Q94 622 83 628T38 637H20V660Q20 683 22 683L32 684Q42 685 61 686T98 688Q115 689 135 690T165 693T176 694H179V463L180 233L240 287Q300 341 304 347Q310 356 310 364Q310 383 289 385H284V431H293Q308 428 412 428Q475 428 484 431H489V385H476Q407 380 360 341Q286 278 286 274Q286 273 349 181T420 79Q434 60 451 53T500 46H511V0H505Q496 3 418 3Q322 3 307 0H299V46H306Q330 48 330 65Q330 72 326 79Q323 84 276 153T228 222L176 176V120V84Q176 65 178 59T189 49Q210 46 238 46H254V0H246Q231 3 137 3T28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 -75Q403 -50 389 -34T348 -11T299 -2T245 0H218Q151 0 138 -6Q118 -15 107 -34T95 -74Q95 -84 101 -97T122 -127T170 -155T250 -167Q319 -167 361 -139T403 -75Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250,0)"><use data-c="6B" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-6B"></use><use data-c="67" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-67" transform="translate(528,0)"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> Deuterium</p>


<p>Atome die in \( 1 \mathrm{~kg} \) Deuterium enthalten sind</p>


<p>Atome die in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 1 \mathrm{~kg} " style="vertical-align: -0.466ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.023ex" height="2.036ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1778 900" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-56-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-56-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-56-TEX-N-6B" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T97 124T98 167T98 217T98 272T98 329Q98 366 98 407T98 482T98 542T97 586T97 603Q94 622 83 628T38 637H20V660Q20 683 22 683L32 684Q42 685 61 686T98 688Q115 689 135 690T165 693T176 694H179V463L180 233L240 287Q300 341 304 347Q310 356 310 364Q310 383 289 385H284V431H293Q308 428 412 428Q475 428 484 431H489V385H476Q407 380 360 341Q286 278 286 274Q286 273 349 181T420 79Q434 60 451 53T500 46H511V0H505Q496 3 418 3Q322 3 307 0H299V46H306Q330 48 330 65Q330 72 326 79Q323 84 276 153T228 222L176 176V120V84Q176 65 178 59T189 49Q210 46 238 46H254V0H246Q231 3 137 3T28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-56-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 -75Q403 -50 389 -34T348 -11T299 -2T245 0H218Q151 0 138 -6Q118 -15 107 -34T95 -74Q95 -84 101 -97T122 -127T170 -155T250 -167Q319 -167 361 -139T403 -75Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250,0)"><use data-c="6B" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-6B"></use><use data-c="67" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-67" transform="translate(528,0)"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> Deuterium enthalten sind</p>


<p>\[ N=n N_{\mathrm{A}}=\frac{m N_{\mathrm{A}}}{M}\]</p>


<p>\[\quad \, \, =\frac{1 \mathrm{~kg} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}}{2 \cdot 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}}=3 \cdot 10^{26} \)</p>


<p>Daraus folgt die gelieferte Energie mit</p>


<p>\[ N \cdot 17,6 \mathrm{MeV}=5,3 \cdot 10^{33} \mathrm{eV}=8,5 \cdot 10^{14} \mathrm{~J}=2,3 \cdot 10^{8} \mathrm{kWh} \)</p>


<p>\[\Rightarrow m=\frac{P t}{c^{2}}\]</p>


<p>\[\quad \quad \ =\frac{1400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot 4 \pi \cdot\left(1,49 \cdot 10^{11} \mathrm{~m}\right)^{2} \cdot 1 \mathrm{~s}}{(299792458 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}}=2,17 \cdot 10^{9} \mathrm{~kg} \)</p>


<p>4. Arbeit, Geschwindigkeit, Leistung</p>


<p>\[ W=\int_{\infty}^{r} F \mathrm{~d} r\]</p>


<p>\[\quad \  =\int_{\infty}^{r} \frac{-(2 e) e}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \mathrm{~d} r=\frac{e^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0} r}\]</p>


<p>\[\quad \ =\frac{\left(1,602 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}\right)^{2}}{2 \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} \cdot 10^{-14} \mathrm{~m}}=4,6 \cdot 10^{-14} \mathrm{~J} \)</p>


<p>\[<br />E=\frac{1}{2} m_{\mathrm{p}} v^{2} \]</p>


<p>\[\Rightarrow \quad v=\sqrt{\frac{2 W}{m_{\mathrm{p}}}}\]</p>


<p>\[\quad \quad \ \ \ =\sqrt{\frac{2 \cdot 4,6 \cdot 10^{-14} \mathrm{~J}}{1,673 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}}}=5,2 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \]</p>


<p>\[\Rightarrow T=\frac{3 W}{2 k}\]</p>


<p>\[\quad \quad \, =\frac{3 \cdot 4,6 \cdot 10^{-14} \mathrm{~J}}{2 \cdot 1,381 \cdot 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}} \approx 5,0 \cdot 10^{9} \mathrm{~K}<br />\]</p>


<p>\[\Delta h=395 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{mol}} \cdot \frac{1}{0,012 \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}}\]</p>
<p>\[\quad \ \, =32900 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}=9,14 \frac{\mathrm{kWh}}{\mathrm{kg}} \)</p>


<p>Somit ergibt sich die erforderliche Menge an Kohle zu</p>


<p>\[m=\frac{E_{\text {Fusion }}}{\Delta h}\]</p>
<p>\[\quad \,=\frac{8,5 \cdot 10^{14} \mathrm{~J}}{32900 \cdot 10^{3} \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}}=2,58 \cdot 10^{7} \mathrm{~kg} \approx 26000 \mathrm{t} \)</p>


<p>6. Tritt bei chemischen Reaktionen auch ein Massenverlust auf?</p>


<p>Ja, aber der Reaktionsenthalpie \( \left(E \approx 100 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}=1,66 \cdot 10^{-19} \mathrm{~J} /\right. \) Molekül \( ) \) entspricht eine unwägbar kleine Massenänderung \( \left(E / c^{2} \approx 1 \mathrm{pg} / \mathrm{mol}\right) . \) Kernfusionen finden dabei nicht statt.</p>

<p>Die Sonne, als \( 149 \cdot 10^{6} \mathrm{~km} \) von der Erde entfernte Kreisfläche, bestrahlt jeden Quadratmeter der Erdoberfläche mit einer Leistung von \( 1400 \mathrm{~W} \).</p>
<ol>
<li>Nach welcher Reaktionsgleichung verschmelzen Tritium und Deuterium? (17,6 MeV)</li>
<li>Welche Energie (in \( \mathrm{kWh} \) ) liefert die Fusion von \( 1 \mathrm{~kg} \) Deuterium?</li>
<li>Welche äquivalente Masse verliert die Sonne in jeder Sekunde?</li>
<li>Welche Arbeit leistet ein Proton \( { }_{1}^{1} \mathrm{H}^{\oplus} \), um \( \operatorname{sich}{ }_{2}^{3} \mathrm{He}^{2 \oplus} \) gegen die COULOMB-Abstoßung auf \( 10^{-14} \mathrm{~m} \) zu nähern? Welche Geschwindigkeit und thermische Energie sind notwendig?</li>
<li>Wie viele Tonnen Kohle müsste man verbrennen \( (\Delta H=395 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}) \), um dieselbe Energie wie bei der Fusion von \( 1 \mathrm{~kg} \) Deuterium zu erzielen? (siehe 1. und 2.)</li>
<li>Tritt bei chemischen Reaktionen auch ein Massenverlust auf?</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Grundlagen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: