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Aufgabenstellung:

Gegeben sei folgende MIMO-Übertragungsmatrix:

  1. Bestimmen Sie die Pole des MIMO-Systems und deren Vielfachheit.
  2. Bestimmen Sie die Nullstellen des MIMO-Systems und deren Vielfachheit.
  3. Was ist die minimale Systemordnung dieses Systems?
  4. Wie viele Singularwerte hat das System bei jeder Frequenz?
  5. Berechnen Sie den Verstärkungsbereich (minimale und maximale Verstärkung) der Frequenzantwort bei der Frequenz . Machen sie diese Berechnung analytisch.

Lösungsweg:

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a) Pole des MIMO-Systems und deren Vielfachheit

Die Pole eines MIMO-Systems sind die Nullstellen des kleinsten gemeinsamen Nenners aller Minoren von . Minoren sind die Determinanten aller möglichen Submatrizen einer Matrix.

In diesem Beispiel also:

Der kleinste gemeinsame Nenner ist also: und hat die Nullstellen und , wobei eine 2 -fache Nullstelle ist.

Die Pole des MIMO-Systems sind also:

,

b) Nullstellen des MIMO-Systems und deren Vielfachheit

Die Nullstellen eines MIMO-Systems sind die Nullstellen des grössten gemeinsamen Teilers der Zählerpolynome der maximalen Minoren, nachdem diese normiert wurden, damit sie das Pole-Polynom als Nenner haben. Im Falle einer quadratischen Matrix gibt es nur einen maximalen Minor, die Determinante der Matrix , die in diesem Fall auch schon normiert ist:

Die Nullstellen des Systems sind also die Nullstellen des Polynoms

Die beiden Nullstellen des Systems sind:

und

c) minimale Systemordnung

Da das System 3 Pole hat, ist die minimale Systemordung

d) Singularwerte

Die Anzahl der Singularwerte eines Systems mit Eingängen und p Ausgängen ist: , also die kleinere der beiden Dimensionen.

Hier ist , also hat das System für jede Freguenz 2 nicht verschwindende Singularwerte.

e) Verstärkungsbereich (minimale und maximale Verstärkung) der Frequenzantwort

Die minimale, bzw. maximale Verstärkung, bei jeder Frequenz, ist gegeben durch den kleinsten, bzw. grössten Singularwert und .

Die Singularwerte einer Matrix sind die positiven Quadratwurzeln der grössten Eigenwerte der Hermiteschen Matrix :

Berechnung der Singularwerte an der Stelle

Die Hermitesche Matrix ist dann:

Das charakteristische Polynom liefert die Werte:

Und damit der kleinste, bzw. grösste Singularwert:

Lösung:

  1. ,
  2. und
  3. 3
  4. 2