Wärmetransport – Temperaturstrahlung

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Rekuperator:W¨armeübergang mit Phasenänderung

<ol>
<li>
<p>\[<br />\bar{k}\approx 1150 \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}}<br />\]</p>
</li>
<li>
<p>\[<br />l=3,7 \mathrm{~m}<br />\]</p>
</li>
</ol>

<p>Laminare Filmkondensation eines Fluids am waagrechten Kühlrohr (Außendurchmesser \( d_{\mathrm{a}} \) ):</p>


<p>Laminare Filmkondensation eines Fluids am waagrechten Kühlrohr (Außendurchmesser <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" d_{\mathrm{a}} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.164ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 956.6 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-343-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-343-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 75 150 51T209 26Q247 26 276 49T315 109Q317 116 318 175Q318 233 317 233Q309 233 296 232T251 223T193 203T147 166T126 106Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-343-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(553,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="61" xlink:href="#MJX-343-TEX-N-61"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ):</p>


<p>\[<br />\bar{\alpha}_{\mathrm{a}}=0,72 \sqrt[4]{\frac{\Delta H_{\mathrm{k}} \cdot \varrho^{2} \lambda^{3} g}{d_{\mathrm{a}} \eta \Delta T}}<br />\]</p>


<p>( \( \Delta H_{\mathrm{k}} \) Kondensationswärme)</p>


<p>( <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \Delta H_{\mathrm{k}} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.797ex" height="1.959ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2120.4 866" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-345-TEX-N-394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path><path id="MJX-345-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-345-TEX-N-6B" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T97 124T98 167T98 217T98 272T98 329Q98 366 98 407T98 482T98 542T97 586T97 603Q94 622 83 628T38 637H20V660Q20 683 22 683L32 684Q42 685 61 686T98 688Q115 689 135 690T165 693T176 694H179V463L180 233L240 287Q300 341 304 347Q310 356 310 364Q310 383 289 385H284V431H293Q308 428 412 428Q475 428 484 431H489V385H476Q407 380 360 341Q286 278 286 274Q286 273 349 181T420 79Q434 60 451 53T500 46H511V0H505Q496 3 418 3Q322 3 307 0H299V46H306Q330 48 330 65Q330 72 326 79Q323 84 276 153T228 222L176 176V120V84Q176 65 178 59T189 49Q210 46 238 46H254V0H246Q231 3 137 3T28 0H20V46H36Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-345-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(833,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-345-TEX-I-1D43B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(864,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="6B" xlink:href="#MJX-345-TEX-N-6B"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> Kondensationswärme)</p>


<p>Wärmeübertragung von der Rohrinnenseite (i) auf das turbulent strömende Kühlmedium (W):</p>


<p>\[<br />N u=\frac{\alpha_{\mathrm{i}} d_{\mathrm{i}}}{\lambda}<br />\]</p>


<p>\[<br />=0,023 \cdot R e^{0,8} \operatorname{Pr}^{1 / 3}\left(\frac{\eta_{\mathrm{w}}}{C}\right)^{1 / 7}<br />\]</p>


<p>\[<br />C=1,39 \cdot 10^{-6} \mathrm{e}^{1941 / T}<br />\]</p>


<p>1. Wie groß ist die mittlere Wärmedurchgangszahl?</p>


<p>Die Rohrwand ist dünn gegen den Rohrdurchmesser, so dass eine ebene Wand angenommen werden \( \operatorname{darf}(N= \) Zahl der Rohre \( ) \).</p>


<p>Die Rohrwand ist dünn gegen den Rohrdurchmesser, so dass eine ebene Wand angenommen werden <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \operatorname{darf}(N= " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.395ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4152.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-349-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-349-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 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46H276V0H267Q249 3 140 3Q37 3 28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-349-TEX-N-66" d="M273 0Q255 3 146 3Q43 3 34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q99 52 103 60Q104 62 104 224V385H33V431H104V497L105 564L107 574Q126 639 171 668T266 704Q267 704 275 704T289 705Q330 702 351 679T372 627Q372 604 358 590T321 576T284 590T270 627Q270 647 288 667H284Q280 668 273 668Q245 668 223 647T189 592Q183 572 182 497V431H293V385H185V225Q185 63 186 61T189 57T194 54T199 51T206 49T213 48T222 47T231 47T241 46T251 46H282V0H273Z"></path><path id="MJX-349-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-349-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-349-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 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12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-350-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\[<br />\dot{Q}=\bar{k} A \overline{\Delta T}<br />\]</p>


<p>\[<br />=\bar{k}(N \pi d l) \overline{\Delta T}<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{1}{k}=\frac{1}{\alpha_{\mathrm{a}}}+\frac{s_{\mathrm{Cu}}}{\lambda_{\mathrm{Cu}}}+\frac{1}{\alpha_{\mathrm{i}}}<br />\]</p>


<p>Für Kühlmittel an der Rohraußenseite:</p>


<p>\[<br />\alpha_{\mathrm{a}}=0,72 \sqrt[4]{\frac{137500 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot\left(1300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right)^{2}\left(0,087 \mathrm{WK}^{-1} \mathrm{~m}^{-1}\right)^{3} \cdot 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}}{(23+2 \cdot 1,2) \cdot 10^{-3} \mathrm{~m} \cdot 0,00025 \mathrm{~Pa} \cdot(32-23) \mathrm{K}}}<br />\]</p>


<p>\[<br />=1630 \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\alpha_{\mathrm{i}}=N u \frac{\lambda}{d_{\mathrm{i}}}<br />\]</p>


<p>\[<br />=\left[0,023(\underbrace{\frac{1000 \cdot 1,2 \cdot 0,023}{0,00113}}_{R e=\frac{\rho 0 d}{\eta}=24425})^{0.8}(\underbrace{\frac{0,00113 \cdot 4180}{0,6}}_{P r=\frac{\eta c_{p}}{\lambda}=7,87})^{1 / 3}(\underbrace{\frac{0,00113}{1,39 \cdot 10^{-6} \mathrm{e}^{1941 / 296}}}_{\eta_{\mathrm{w}} / C=1,154})^{1 / 7}\right] \frac{0,6}{0,023} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\approx 3940 \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\bar{k}=\left(\frac{1}{1630}+\frac{0,0012}{385}+\frac{1}{3940}\right)^{-1} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\approx 1150 \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}}<br />\]</p>


<p>2. Welche Rohrlänge ist notwendig?</p>


<p>Logarithmische Temperaturdifferenz für die Erwärmung von \( 15 \rightarrow 18^{\circ} \mathrm{C} \) bei \( 32^{\circ} \mathrm{C} \)</p>


<p>Logarithmische Temperaturdifferenz für die Erwärmung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 15 \rightarrow 18^{\circ} \mathrm{C} " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.665ex" height="1.649ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -707 4714.1 729" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-361-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-361-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 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class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 32^{\circ} \mathrm{C} " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.884ex" height="1.649ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -707 2158.6 729" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-362-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-362-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 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<p>\[<br />\overline{\Delta T}=\frac{(32-15)-(32-18)}{\ln \frac{32-15}{32-18}} \mathrm{~K}<br />\]</p>


<p>\[<br />=15,5 \mathrm{~K}<br />\]</p>


<p>\[<br />l=\frac{\dot{Q}}{\bar{k}(N \pi d) \overline{\Delta T}}<br />\]</p>


<p>\[<br />=\frac{-\Delta H_{\mathrm{k}} \cdot \dot{m}}{k(N \pi d) \Delta T}<br />\]</p>


<p>\[<br />=\frac{137500 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot(10000 / 3600) \mathrm{kg} / \mathrm{s}}{1150 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1} \cdot(72 \cdot \pi \cdot 0,0254 \mathrm{~m}) \cdot 15,5 \mathrm{~K}}<br />\]</p>


<p>In einem Rohrbundelkondensator (Rekuperator) aus 72 horizontalen Kupferrohren kondensieren 10 Tonnen pro Stunde Kühlmittel R12 bei \( 32^{\circ} \mathrm{C} \). In den Rohren strömt Kühlwasser mit 1,2 \( \mathrm{m} / \mathrm{s} \), das sich von \( 15^{\circ} \mathrm{C} \) auf \( 18{ }^{\circ} \mathrm{C} \) erwärmt.</p>
<ol>
<li>
<p>Wie groß ist die mittlere Wärmedurchgangszahl?</p>
</li>
<li>
<p>Welche Rohrlänge ist notwendig?</p>
</li>
</ol>
<p>Kupferrohre: \( \lambda_{\mathrm{Cu}}=385 \mathrm{~W} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~m}^{-1}, d_{\mathrm{i}}=23 \mathrm{~mm} \); Wandstärke \( s=1,2 \mathrm{~mm} ; T_{\mathrm{a}}=23{ }^{\circ} \mathrm{C} \)</p>
<p>Frigen: \( \quad \mathrm{F}=\mathrm{CCl}_{2} \mathrm{~F}_{2}, \lambda_{\mathrm{F}}=0,087 \mathrm{~W} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~m}^{-1}, \varrho_{\mathrm{F}}=1300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \eta_{\mathrm{F}}=0,00025 \mathrm{~Pa} \mathrm{~s} ; \Delta H_{\mathrm{k}}=137,5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \)</p>
<p>Wasser: \( \quad \lambda_{\mathrm{w}}=0,6 \mathrm{~W} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~m}^{-1}, \varrho_{\mathrm{w}}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \eta_{\mathrm{w}}=0,00113 \mathrm{~Pa} \mathrm{~s} ; c_{\mathrm{p}}=4180 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} \)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Wärmetransport – Temperaturstrahlung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: